Kezdőlap


Feladat:	1334. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer E. , Bayer N. , Domokos Gy. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Erdős V. , Fried E. , Gádor Z. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Klein G. , Kubinyi I. , Köhler I. , Lengyel M. , Mellinger E. , Nagy Gy. , Neumann L. , Paunz Arthur , Pichler S. , Sárközy P. , Szende Gy. , Szobotka D. , Velics L.
Füzet:	1905/február, 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Térgeometria alapjai, Szabályos tetraéder, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/december: 1334. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C D$ a tetraéder és legyen a metsző sík párhuzamos az $A C$ és $B D$ éllel.
Minthogy a metsző sík párhuzamos a $B D$ éllel, azért a $B C D$ síkkal való metszése $E F$ és az $A B D$ síkkal való metszése $G H$ párhuzamos $B D$ -vel és ennélfogva

\begin{matrix} E F ∥ G H . \end{matrix}

(1)

Hasonlóképpen kimutatható, hogy

\begin{matrix} G E ∥ H F . \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} G E ∥ A C \end{matrix}

s így

\begin{matrix} G E ⊥ B D . \end{matrix}

(3)

(1), (2)

és

(3)

-ból következik, hogy a metszési idom téglalap.
Legyen a tetraéder egyik éle

a

és

E C = x

, akkor

E C = E F = x

, mert a

B C D

háromszög egyenlőoldalú és így a hozzá hasonló

E F C

háromszög is egyenlőoldalú.
Minthogy a

B E G

háromszög is egyenlőoldalú, azért

\begin{matrix} B E = E G = a - x . \end{matrix}

Ennélfogva a téglalap területe:

\begin{matrix} t = x (a - x) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} t = - x^{2} + a x . \end{matrix}

t

akkor maximum, ha

x = \frac{a}{2}

. Ekkor

t = \frac{a^{2}}{4}

. A legnagyobb területű metszet tehát négyzet és a metsző sík az élek középpontjain megy keresztül.

(Paunz Arthur, Pécs.)