Kezdőlap


Feladat:	1333. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer E. , Bayer N. , Domokos Gy. , Ehrenfeld Nándor , Erdős V. , Fried E. , Gádor Z. , Helfgott Á. , Jánosy J. , Kirchknopf E. , Klein A. , Klein G. , Koffler B. , Kubinyi I. , Köhler I. , Lendvai D. , Mellinger E. , Nagy Gy. , Nendtvich Zsófia , Neumann L. , Paunz A. , Pichler S. , Picsmann F. , Sárközy P. , Szende Gy. , Szobotka D. , Velics L.
Füzet:	1905/február, 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Körülírt kör, Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/december: 1333. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az érintő kör sugara $r$ , akkor, mint ismeretes

\begin{matrix} r = \frac{2 t}{k} . \end{matrix}

(1)

Minthogy

k

állandó, azért

r

akkor lesz a legnagyobb, ha

t

, a háromszög területe a legnagyobb. De tudjuk, hogy az egyenlő kerületű derékszögű háromszögek között az egyenlőszárúnak legnagyobb a területe (Math. Gyakorlókönyv, I. 449. f.) s így

\begin{matrix} 2 t = a^{2}; \end{matrix}

(2)

de akkor

\begin{matrix} k = 2 a + a \sqrt[]{2} = a (2 + \sqrt[]{2}), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} a = \frac{k}{2 + \sqrt[]{2}} = \frac{k}{2} (2 - \sqrt[]{2}) \end{matrix}

(3)

(3)

-at

(2)

-be és ezt

(1)

-be téve, ered:

\begin{matrix} r = \frac{a^{2}}{k} = \frac{k}{4} (6 - 4 \sqrt[]{2}) = \frac{k}{2} (3 - 2 \sqrt[]{2}) . \end{matrix}

(Ehrenfeld Nándor, Nyitra.)