Kezdőlap


Feladat:	1329. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Domokos Gy. , Ehrenfeld N. , Erdős V. , Gádor Zoltán , Kirchknopf E. , Kiss E. , Klein A. , Klein G. , Kubinyi I. , Köhler I. , Lendvai D. , Mellinger E. , Nagy Gy. , Paunz A. , Pichler S. , Szende Gy. , Szenes A. , Szilárd V. , Szobotka D. , Velics Lajos
Füzet:	1905/február, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/december: 1329. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Legyen

\begin{matrix} \frac{a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}}{a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}} = k . \end{matrix}

(1)

ekkor

\begin{matrix} (a_{1} - a_{2} k) x^{2} + (b_{1} - b_{2} k) x + (c_{1} - c_{2} k) = 0. \end{matrix}

Eme egyenlet csak akkor állhat fenn

x

-nek minden értéke mellett, ha

\begin{matrix} a_{1} - a_{2} k = 0, b_{1} - b_{2} k = 0, c_{1} - c_{2} k = 0, \end{matrix}

mely egyenletekből

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = k . \end{matrix}

(2)

E feltétel nemcsak szükséges, de egyúttal elégséges is, mert ha

(2)

-ből

a_{1}, b_{1}

és

c_{1}

értékeit

(1)

-be tesszük, ered:

\begin{matrix} \frac{a_{2} k x^{2} + b_{2} k x + c_{1} k}{a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}} = k . \end{matrix}

(Velics Lajos, Kassa.)

Második megoldás. Minthogy a megadott tört

x

-nek minden értéke mellett

k

-val egyenlő, azért

x

helyébe rendre

1

-et,

(- 1)

-et és

0

-t téve ugyancsak

k

-t kell kapnunk. Így tehát e helyettesítések után

1

-ből lesz:

\begin{matrix} a_{1} + b_{1} + c_{1} = a_{2} k + b_{2} k + c_{2} k \end{matrix}

\begin{matrix} a_{1} - b_{1} + c_{1} = a_{2} k - b_{2} k + c_{2} k \end{matrix}

\begin{matrix} c_{1} = c_{2} k . \end{matrix}

Mely egyenletekből ismét kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} . \end{matrix}

(Gádor Zoltán, Losoncz.)