Kezdőlap


Feladat:	1322. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Brichta L. , Czúcz A. , Czuczor önképző , Dénes M. , Domokos Gy. , Ehrenstein I. , Ehrenstein N. , Erdélyi S. , Erdős V. , Ertler Á. , Fried Ernő , Jánosy Gy. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Koffler B. , Kovács Gy. , Kürth R. , Mellinger E. , Nendtvich Zs. , Neumann F. , Neumann L. , Paunz A. , Sárközy P. , Schlesinger S. , Schulhof E. , Szántó L. , Szende György , Szobotka , Sztáity J. , Vámos J. , Velics L. , Virány D. , Virány E.
Füzet:	1905/március, 174 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kúpok, Terület, felszín, Térfogat, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/november: 1322. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Legyen $A B C$ a megadott háromszög, melynek $C$ csúcsán át rajzoljuk a $T_{1} T_{2}$ tengelyt. Rajzoljuk meg a háromszög $B$ csúcsából a $T_{1} T_{2}$ -re merőleges $B E$ -t. A forgási testet megkapjuk, ha a $C A B E$ trapéz forgásából keletkező csonka kúpból kivonjuk a $C B E$ háromszög forgásából keletkező kúpot. Minthogy

\begin{matrix} C D = \frac{a}{2} \sqrt[]{3} és B E = \frac{a}{2}, \end{matrix}

azért a keresett köbtartalom:

\begin{matrix} V = \frac{a \sqrt[]{3} π}{2 \cdot 3} (a^{2} + \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{2}) - \frac{a^{2}}{4} π \cdot \frac{a}{2 \cdot 3} \sqrt[]{3} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{7}{24} a^{3} \sqrt[]{3} π - \frac{a^{3}}{24} \sqrt[]{3} π = \frac{a^{3}}{4} \sqrt[]{3} π . \end{matrix}

A keresett fölület:

\begin{matrix} F = a^{2} π + (a + \frac{a}{2}) a π + \frac{a^{2}}{2} π = 3 a^{2} π . \end{matrix}

(Fried Ernő, Budapest.)

Második megoldás. A Guldin-féle szabály (K. M. L. VIII. 137.) alapján a feladatot a következőképen oldjuk meg:
A forgási test fölületét megkapjuk, ha a forgó egyenesek hosszúságát megszorozzuk súlypontjuknak a forgás közben megtett útjával.
Ennélfogva :

\begin{matrix} F = a \cdot 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot π + a \cdot 2 \cdot \frac{a}{4} \cdot π + a \cdot 2 \cdot \frac{3 a}{4} \cdot π = 3 a^{2} π . \end{matrix}

A köbtartalmat pedig úgy kapjuk meg, ha a súlypont által leírt utat megszorozzuk a forgó idom területével. Tehát

\begin{matrix} K = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot π \cdot \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{3} = \frac{a^{3}}{4} \sqrt[]{3} π . \end{matrix}

(Szende György, Budapest.)