Kezdőlap


Feladat:	1320. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szenes Andor
Füzet:	1905/március, 172 - 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Szinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/november: 1320. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $2 s = a + b + c$ , akkor a háromszög területe:

\begin{matrix} t = \sqrt[]{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)} . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} a : b : c = 4 : 5 : 6, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} b = \frac{5 a}{4}, c = \frac{6 a}{4} és s = \frac{15 a}{8} . \end{matrix}

Eme értékeket a terület képletébe téve, ered:

\begin{matrix} 357,18 = \frac{15 a^{2}}{64} \sqrt[]{7}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} a = \sqrt[]{\frac{357,18 \times 64}{15 \sqrt[]{7}}} = 24 cm, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} b = 30 cm, c = 36 cm . \end{matrix}

A szögeket legcélszerűbben a

\begin{matrix} tg = \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}}, \end{matrix}

stb. képletekből nyerjük. A számításokat elvégezve, ered:

\begin{matrix} α = 41^{\circ} 24' 34'', β = 55^{\circ} 46' 16'', γ = 82^{\circ} 49' 10'' . \end{matrix}

(Szenes Andor, Kaposvár.)

Megoldások száma: 53.