Kezdőlap


Feladat:	1313. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Czúcz A. , Domokos Gy. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Erdős V. , Fried E. , Gádor Z. , Helfgott Á. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Koffler B. , Kubinyi I. , Köhler I. , Lendvai D. , Lengyel M. , Mellinger E. , Muttnyánszky Á. , Pichler S. , Sárközy Pál , Schulhof Elza , Strasser I. , Szobotka D. , Velics L. , Vilcsek A. , Viola R. , Virány D.
Füzet:	1904/december, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Feuerbach-kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/október: 1313. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az átfogó osztáspontja $D$ , úgy hogy

\begin{matrix} A D : D B = m : n . \end{matrix}

A C = b

felezési pontja legyen

F, C B = a

-é pedig

E

. Minthogy az

A C B ∢ = 90^{\circ}

, azért az

F E

mint átmérő fölé rajzolt kör átmegy

C

ponton. Minthogy pedig e kör átmegy a háromszög két oldalának középpontján és az

A C

és

B C

magasságok

C

talppontján, azért e kör nem más, mint a Feuerbach-féle kör (Mathematikai Gyakorlókönyv II. 73.). Ismeretes, hogy e kör a harmadik oldalt is a középpontjában és a

C

-ből rajzolható magasság talppontjában metszi. Ennélfogva a keresett

D

pont a

C

-ből rajzolt magasság talppontja. Ezek után írhatjuk, hogy

\begin{matrix} A D : D B = m : n = \sqrt[]{b^{2} - {C D}^{2}} : \sqrt[]{a^{2} - C D^{2}} \end{matrix}

(1)

vagy, minthogy

\begin{matrix} C D = \frac{a b}{c}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} m : n = \sqrt[]{b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{c^{2}}} : \sqrt[]{a^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{c^{2}}} = b \sqrt[]{c^{2} - a^{2}} : a \sqrt[]{c^{2} - b^{2}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} m : n = b^{2} : a^{2} \end{matrix}

(2)

(2)

még így is írható

\begin{matrix} m : n = c^{2} - a^{2} : a^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} m + n : n = c^{2} : a^{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a : b : c = \sqrt[]{n} : \sqrt[]{m} : \sqrt[]{m + n} . \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)