Kezdőlap


Feladat:	1312. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer Nándor , Domokos Gy. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Gádor Z. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Köhler I. , Mellinger Endre , Sárközy Pál , Schulhof Elza , Strasser I. , Ungar E. , Vámos J. , Vilcsek A. , Virány D. , Virány E.
Füzet:	1904/december, 109 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Körök, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/október: 1312. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Legyenek a körök középpontjai $O_{1}$ és $O_{2}$ , sugaraik $r_{1}$ és $r_{2}$ , továbbá a belső érintők érintéspontjai $C$ és $D$ , egymással való metszéspontjuk $S$ , a belső érintőknek a külső érintővel való metszéspontjai $A$ és $B$ .

A B S ∢ = α

, akkor

\begin{matrix} B A S ∢ = 90^{\circ} - α, S B O_{2} ∢ = 90^{\circ} - \frac{α}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} B O_{2} S ∢ = 45^{\circ} + \frac{α}{2}, S A O_{1} ∢ = 45^{\circ} + \frac{α}{2}, A O_{1} S ∢ = 90^{\circ} - \frac{α}{2} . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} A O_{1} S Δ \sim B O_{2} S Δ, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} \frac{S A}{S O_{1}} = \frac{S O_{2}}{S B}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} S A \cdot S B = S O_{1} \cdot S O_{2} . \end{matrix}

De az

O_{1} C S

és

O_{2} D S

háromszögekből

\begin{matrix} S O_{1} = r_{1} \sqrt[]{2} és S O_{2} = r_{2} \sqrt[]{2}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} S A \cdot S B = 2 r_{1} r_{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{S A \cdot S B}{2} = r_{1} r_{2} . \end{matrix}

(Bayer Nándor, Losonc.)

Második megoldás.

\begin{matrix} 2 t = (r_{1} + r_{1} tg \frac{90^{\circ} - α}{2}) (r_{2} + r_{2} tg \frac{α}{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = r_{1} r_{2} (1 + tg \frac{α}{2}) (1 + tg (45^{\circ} - \frac{α}{2})) = \end{matrix}

\begin{matrix} = r_{1} r_{2} (1 + tg \frac{α}{2} + \frac{tg 45^{\circ} - tg \frac{α}{2}}{1 + tg 45^{\circ} tg \frac{α}{2}} + \frac{tg α tg 45^{\circ} - {tg}^{2} \frac{α}{2}}{1 + tg 45^{\circ} tg \frac{α}{2}}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = r_{1} r_{2} (1 + tg \frac{α}{2} + \frac{1 - tg \frac{α}{2} + tg \frac{α}{2} - {tg}^{2} \frac{α}{2}}{1 + tg \frac{α}{2}}) = 2 r_{1} r_{2} . \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)

Harmadik megoldás. Ha

A S = a, B S = b, A B = c

, akkor (Math. Gyakorlókönyv II. 67.)

\begin{matrix} r_{1} = \frac{t}{s - a}, r_{2} = \frac{t}{s - b}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} r_{1} r_{2} = \frac{t^{2}}{(s - a) (s - b)} = s (s - c) = \frac{a + b + c}{2} \cdot \frac{a + b - c}{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{4} = \frac{{(a + b)}^{2} - (a^{2} + b^{2})}{4} = \frac{a b}{2} . \end{matrix}

Ennélfogva az

A B S

háromszög területe csakugyan

r_{1} r_{2}

(Mellinger Endre, Budapest.)