Kezdőlap


Feladat:	1305. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Basch R. , Bauer E. , Bayer Nándor , Brichta L. , Dénes M. , Domokos Gy. , Döri V. , Ehrenfeld N. , Elischer E. , Engler J. , Erdélyi S. , Erdős V. , Ertler Á. , Fried E. , Gádor Z. , Helfgott Á. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Klein G. , Koffler B. , Kovács Gy. , Kürth R. , Köhler I. , László S. , Mellinger E. , Muttnyánszky Á. , Pálos T. , Picsmann F. , Róth Zs. , Sárközy Pál , Schlesinger S. , Spitzer L. , Strasser I. , Sz. Nagy Gy. , Szobotka D. , Ungar E. , Velics L. , Vilcsek A. , Viola R. , Virány D. , Virány E.
Füzet:	1904/december, 96 - 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Determinánsok további alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/október: 1305. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. A megadott egyenletrendszer így is írható:

\begin{matrix} a b (c x - a b) + b c (a y - b c) + c a (b z - c a) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} c x - a b + a y - b c + b z - c a = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} c (c x - a b) + a (a y - b c) + b (b z - c a) = 0. \end{matrix}

Legyen már most

\begin{matrix} c x - a b = s, a y - b c = u, b z - c a = v, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} a b s + b c u + c a v = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} s + u + v = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} c s + a u + b v = 0, \end{matrix}

miből

s = 0, u = 0, v = 0

, s így

\begin{matrix} x = \frac{a b}{c}, y = \frac{b c}{a}, z = \frac{c a}{b} . \end{matrix}

(Bayer Nándor, Losonc.)

Második megoldás.^{$^{*}$} Az egyenletrendszer determinánsa:

\begin{matrix} D = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ c & a & b \\ c^{2} & a^{2} & b^{2} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ c - b & a - b & b \\ c^{2} - b^{2} & a^{2} - b^{2} & b^{2} \end{matrix} | = (a - b) (a - c) (c - b) . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} D_{1} = | \begin{matrix} \frac{a b}{c} + \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b} & 1 & 1 \\ a b + b c + c a & a & b \\ a b c + a b c + a b c & a^{2} & b^{2} \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{a b c} | \begin{matrix} a^{2} b^{2} \cdot 1 + b^{2} c^{2} \cdot 1 + c^{2} b^{2} \cdot 1 & 1 & 1 \\ a^{2} b^{2} \cdot c + b^{2} c^{2} \cdot a + c^{2} a^{2} \cdot b & a & b \\ a^{2} b^{2} \cdot c^{2} + b^{2} c^{2} \cdot a^{2} + c^{2} a^{2} \cdot b^{2} & a^{2} & b^{2} \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a b}{c} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ c & a & b \\ c^{2} & a^{2} & b^{2} \end{matrix} | = \begin{matrix} \frac{a b}{c} (a - b) (a - c) (c - b) = \frac{a b}{c} D . \end{matrix} \end{matrix}

Hasonlóképen

\begin{matrix} D_{2} = \frac{b c}{a} D és D_{3} = \frac{c a}{b} D . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} x = \frac{D_{1}}{D} = \frac{a b}{c}, y = \frac{D_{2}}{D} = \frac{b c}{a}, és z = \frac{D_{3}}{D} = \frac{c a}{b} . \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)

^{$^{*}$}L.K.M.L.IX.175. Antal M.: A determinánsokról.