Kezdőlap


Feladat:	1304. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bayer N. , Benkovics I. , Brichta L. , Czúcz A. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Ertler Á. , Guman J. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kovács Gy. , Kürth R. , Mellinger Endre , Pichler S. , Sárközy P. , Steiger J. , Ungár E. , Virány D. , Wáhl V.
Füzet:	1904/november, 62 - 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Permutációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/szeptember: 1304. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden betűhöz az előtte levő két betűből juthatunk, tehát az utak száma, melyeken az Abracadabra szó olvasható:

\begin{matrix} 2^{10} = 1024. \end{matrix}

Eme eredményt úgy tehetjük szemlélhetővé, ha minden egyes betű alá írjuk azt a számot, mely mutatja, hogy hányféle úton juthatunk oda.

\begin{matrix} A & b & r & a & c & a & d & a & b & r & a \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & 1024 \\ A & b & r & a & c & a & d & a & b & r \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 \\ A & b & r & a & c & a & d & a & b \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 \\ A & b & r & a & c & a & d & a \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 \\ A & b & r & a & c & a & d \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 \\ A & b & r & a & c & a \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 \\ A & b & r & a & c \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 \\ A & b & r & a \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ A & b & r \\ 1 & 2 & 4 \\ A & b \\ 1 & 2 \\ A \\ 1 \end{matrix}

(Mellinger Endre, Budapest.)

Jegyzet. Egyszerűen igazolható, hogy az utak számát megkapjuk, ha a Pascal-féle háromszög

10

-edik sorának tagjait összeadjuk. A keresett szám tehát:

\begin{matrix} (\binom{10}{0}) + (\binom{10}{1}) + (\binom{10}{2}) + (\binom{10}{3}) + (\binom{10}{4}) + (\binom{10}{5}) + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{10}{6}) + (\binom{10}{7}) + (\binom{10}{8}) + (\binom{10}{9}) + (\binom{10}{10}) = 1024. \end{matrix}