Kezdőlap


Feladat:	1303. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bayer N. , Benkovics I. , Ehrenfeld Nándor , Guman J. , Kirchknopf E. , Kiss Ernő , Kovács Gy. , Kubinyi I. , Kürth R. , Mellinger E. , Miklóssy K.
Füzet:	1904/december, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Koszinusztétel alkalmazása, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/szeptember: 1303. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A gúla $D$ csúcsából rajzoljuk meg az $A D_{1} = m$ magasságot, ezután bocsássunk az alap $b = 6$ és $c = 7$ oldalaira merőlegeseket, melyek a közös $A$ csúcstól számítva az $A E = x_{1}$ és $A F = x_{2}$ darabokat vágják le. Minthogy

\begin{matrix} 49 - {(6 - x_{1})}^{2} = 25 - x_{1}^{2} és 36 - {(7 - x_{2})}^{2} = 25 - x_{2}^{2}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} x_{1} = 1 cm   és x_{2} = \frac{19}{7} cm . \end{matrix}

D_{1} E = y_{1} D_{1} F = y_{2} és A D_{1} = n

,
akkor

\begin{matrix} x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = n^{2} . \end{matrix}

(1)

A Carnot-tétellel a

B A C ∢ = α

szög cosinusát kiszámítva ered

\begin{matrix} cos α = \frac{5}{7} . \end{matrix}

Vagy ha

\begin{matrix} cos α = cos α_{1} cos α_{2} - sin α_{1} sin α_{2}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} \frac{5}{7} = \frac{x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}}{n^{2}} . \end{matrix}

(2)

(1)

és

(2)

egyenletből ered

\begin{matrix} y_{1}^{2} = \frac{49}{6}, y_{2}^{2} = \frac{529}{294}, n^{2} = \frac{55}{6} . \end{matrix}

Így tehát

\begin{matrix} {\bar{D D_{1}}}^{2} = m^{2} = 5^{2} - n^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} m = \sqrt[]{\frac{95}{6}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} V = \frac{b c sin α}{2} \cdot \frac{m}{3} = \frac{6 \cdot 7 \cdot \frac{2}{7} \cdot \sqrt[]{6} \cdot \sqrt[]{\frac{95}{6}}}{2 \cdot 3} = 2 \sqrt[]{95} = 19,4936 {cm}^{3} . \end{matrix}

(Kiss Ernő, Budapest.)

II. megoldás. Ha a gúla élei

a, b, c

és az egyes háromszögek szögei,

α, β, γ

, akkor a gúla köbtartalma: (Ábel, Térmértan, IV. kiadás 124.)

\begin{matrix} V = \frac{a b c}{3} \sqrt[]{sin σ sin (σ - α) sin (σ - β) sin (σ - γ)}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} V = \frac{a b c}{3} \sqrt[]{cos α cos β cos γ} . \end{matrix}

Az értékeket helyettesítve, ismét ered:

\begin{matrix} V = 19,4936 {cm}^{3} . \end{matrix}

(Ehrenfeld Nándor, Nyitra.)