Kezdőlap


Feladat:	1301. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baján A. , Bayer N. , Brichta L. , Ehrenfeld N. , Erdős V. , Gádor Z. , Kirchknopf E. , Kiss Ernő , Koffler B. , Kovács Gy. , Kürth R. , Lengyel M. , Mellinger E. , Nendtvich Zsófia , Velics L. , Vilcsek A.
Füzet:	1904/december, 106 - 107. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/szeptember: 1301. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ} .$ Ismeretes, hogy (Mathematikai Gyakorlókönyv II. 360. f.)

\begin{matrix} tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ . \end{matrix}

(1)

Ha eme egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük, ered

\begin{matrix} A = {tg}^{2} α {tg}^{2} β {tg}^{2} γ - ({tg}^{2} α + {tg}^{2} β + {tg}^{2} γ) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 (tg α tg β + tg α tg γ + tg β tg γ) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 sec α sec β sec γ (sin α sin β cos γ + sin α sin γ cos β + sin α sin γ cos α) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 sec α sec β sec γ (sin α sin β cos γ + sin^{2} γ) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 sec α sec β sec γ [1 + cos γ (sin α sin β - cos γ)] = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 sec α sec β sec γ [1 + cos α cos β cos γ)] = 2 + 2 sec α sec β sec γ . \end{matrix}

2^{\circ} .

(1)

-et köbre emeljük, ered

\begin{matrix} B = {tg}^{3} α {tg}^{3} β {tg}^{3} γ - ({tg}^{3} α + {tg}^{3} β + {tg}^{3} γ) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 3 [{tg}^{2} α tg β + tg α {tg}^{2} β + {tg}^{2} α tg γ + tg α {tg}^{2} γ + {tg}^{2} β tg γ + tg β {tg}^{2} γ + \end{matrix}

\begin{matrix} + 3 tg α tg β tg γ - tg α tg β tg γ] = \end{matrix}

\begin{matrix} = 3 [tg α tg β (tg α + tg β + tg γ) + tg α tg γ (tg α + tg β + tg γ) + \end{matrix}

\begin{matrix} + tg β tg γ) (tg α + tg β + tg γ) - tg α tg β tg γ] = \end{matrix}

\begin{matrix} = 3 tg α tg β tg γ [tg α tg β + t g α t g γ + tg β tg γ - 1] . \end{matrix}

De, mint

1^{\circ}

-ben láttuk, a szögletes zárójelben álló kifejezés:

\begin{matrix} sec α sec β sec γ + 1, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} B = 3 t g α tg β tg γ [sec α sec β sec γ + 1 - 1] = \frac{3 t g α t g β t g γ}{cos α cos β cos γ} . \end{matrix}

(Kiss Ernő. Budapest.)