Kezdőlap


Feladat:	1291. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pauli József
Füzet:	1904/november, 59. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/szeptember: 1291. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} x + y = u \end{matrix}

és

\begin{matrix} x y = z, \end{matrix}

akkor az egyenletrendszer így is írható:

\begin{matrix} u \sqrt[]{z} = 10 \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} u^{2} - 2 z = 17 \end{matrix}

(2)

(1)

-ből

\begin{matrix} z = \frac{100}{u^{2}}, \end{matrix}

mit

(2)

-be téve és rendezve, lesz

\begin{matrix} u^{4} - 17 u^{2} - 200 = 0; \end{matrix}

miből

\begin{matrix} u_{1} = 5, u_{2} = - 5, u_{3} = 2 i \sqrt[]{2}, u_{4} = - 2 i \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Eme értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy:

\begin{matrix} z_{1} = z_{2} = 4, z_{3} = z_{4} = - \frac{25}{2}; \end{matrix}

u

és

z

értékeit az

\begin{matrix} x + y = u \end{matrix}

\begin{matrix} x y = z \end{matrix}

egyenletrendszerbe helyettesítve, lesz

\begin{matrix} x_{1} = 1, x_{2} = 4, x_{3} = - 4, x_{4} = - 1, \end{matrix}

\begin{matrix} y_{1} = 4, y_{2} = 1, y_{3} = - 1, y_{4} = - 4, \end{matrix}

\begin{matrix} x_{5} = \frac{(2 i + \sqrt[]{21}) \sqrt[]{2}}{2}, x_{6} = \frac{(2 i - \sqrt[]{21}) \sqrt[]{2}}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} x_{7} = \frac{- (2 i - \sqrt[]{21}) \sqrt[]{2}}{2}, x_{8} = \frac{- (2 i + \sqrt[]{21}) \sqrt[]{2}}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} y_{5} = \frac{(2 i - \sqrt[]{21}) \sqrt[]{2}}{2}, y_{6} = \frac{(2 i + \sqrt[]{21}) \sqrt[]{2}}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} y_{7} = \frac{- (2 i + \sqrt[]{21}) \sqrt[]{2}}{2}, y_{8} = \frac{- (2 i - \sqrt[]{21}) \sqrt[]{2}}{2} . \end{matrix}

(Pauli József, Naqykikinda.)

Megoldások száma: 59.