Kezdőlap


Feladat:	1286. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Czúcz A. , Erdélyi I. , Kiss E. , Kürth R. , Mellinger E. , Sárközy Pál , Velics L.
Füzet:	1905/március, 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Egyenes körkúpok, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/április: 1286. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emeljük $X Y$ -ra az $A A_{1}$ és $B B_{1}$ merőlegeseket. Az így keletkezett $A C A_{1}$ és $B C B_{1}$ háromszögek egybevágók, következőleg $A A_{1} = B B_{1}$ .
Az $X Y$ körül forgó $A P$ és $P B$ egyenesek $π A A_{1} \cdot A P$ és $π B B_{1} \cdot B P$ területű palástokat írnak le, melyeknek hányadosa:

\begin{matrix} \frac{A P}{B P} = m . \end{matrix}

Legyen

C P = x

, akkor

\begin{matrix} {\bar{A P}}^{2} = {(x + A_{1} C)}^{2} + a^{2} - {\bar{C A_{1}}}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{B P}}^{2} = {(x - B_{1} C)}^{2} + a^{2} - {\bar{B_{1} C}}^{2} \end{matrix}

s minthogy

\begin{matrix} A_{1} C = B_{1} C = \frac{a}{2}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} \frac{{\bar{A P}}^{2}}{{\bar{B P}}^{2}} = \frac{a^{2} + x^{2} + a x}{a^{2} + x^{2} - a x} = m^{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} (m^{2} - 1) x^{2} - a (m^{2} + 1) x + a^{2} (m^{2} - 1) = 0. \end{matrix}

Hogy a feladat lehetséges legyen, szükséges és elégséges, hogy

x

értéke valós legyen, azaz:

\begin{matrix} a^{2} {(m^{2} + 1)}^{2} - 4 a^{2} {(m^{2} - 1)}^{2} ≧ 0, \end{matrix}

vagy kifejtve

\begin{matrix} (3 m^{2} - 1) (3 - m^{2}) ≧ 0; \end{matrix}

az egyenlőtlenség fennáll, ha

\begin{matrix} \frac{1}{3} ≦ m^{2} ≦ 3, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{3}}{3} ≦ m ≦ \sqrt[]{3} . \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)