Kezdőlap


Feladat:	1282. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bayer N. , Ehrenfeld N. , Gádor Z. , Kiss E. , Kürth Richárd , Mellinger E.
Füzet:	1905/szeptember, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/április: 1282. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ} .$ Ismeretes, hogy (Math. Gyakorlókönyv, II. $508$ . feladat)

\begin{matrix} 16 R^{2} = {(r_{1} + r_{2} + r_{3} - r)}^{2} \end{matrix}

(1)

és hogy (u. o. 67. lap)

\begin{matrix} r = \frac{t}{s}, r_{1} = \frac{t}{s_{1}}, r_{2} = \frac{t}{s_{2}}, r_{3} = \frac{t}{s_{3}}, \end{matrix}

(2)

hol

\begin{matrix} s = \frac{a + b + c}{2}, s_{1} = s - a, s_{2} = s - b, s_{3} = s - c . \end{matrix}

(1)

-ben a négyzetre emelést elvégezzük és

(2)

-ből az értékeket helyettesítjük, ered:

\begin{matrix} 16 R^{2} = r^{2} + r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{3}^{2} + \frac{2 t}{s_{1}} (\frac{t}{s_{2}} + \frac{t}{s_{3}} - \frac{t}{s}) + \frac{2 t}{s_{2}} (\frac{t}{s_{2}} - \frac{t}{s}) - \end{matrix}

\begin{matrix} - 2 \cdot \frac{t}{s} \cdot \frac{t}{s_{3}} = r^{2} + r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{3}^{2} + \frac{2 t^{2}}{s s_{1} s_{2} s_{3}} [s (s_{1} + s_{2} + s_{3}) - s_{3} (s_{2} + s_{1}) - s_{1} s_{2}] . \end{matrix}

De a zárójelben álló kifejezés annyi mint

\begin{matrix} \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2} \end{matrix}

és (Math. Gyakorlókönyv, II.

508

. feladat)

\begin{matrix} t^{2} = s s_{1} s_{2} s_{3} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + r^{2} + r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{3}^{2} = 16 R^{2} . \end{matrix}

2^{\circ} .

\begin{matrix} \frac{1}{r^{2}} + \frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} + \frac{1}{r_{3}^{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{{(a + b + c)}^{2}}{4 t^{2}} + \frac{{(b + c - a)}^{2}}{4 t^{2}} + \frac{{(a + c - b)}^{2}}{4 t^{2}} + \frac{{(a + b - c)}^{2}}{4 t^{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{4 (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{4 t^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{t^{2}} . \end{matrix}

(Kürth Richárd, Nyitra.)