Kezdőlap


Feladat:	1281. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Ehrenfeld N. , Erdélyi I. , Gádor Zoltán , Kiss E. , Sárközy P. , Tandlich E. , Velics L.
Füzet:	1905/szeptember, 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Négyszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/április: 1281. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Kimutatjuk, hogy $A D A' Δ \sim B C C' Δ$ . Minthogy a szögfelezők párrhuzamosak, azért

\begin{matrix} D A' A ∢ = D C C' ∢ = B C C' ∢ = \frac{C ∢}{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} D A' A ∢ = A' A C' ∢ = B C' C ∢ = \frac{A ∢}{2} . \end{matrix}

A két háromszögben két- két szög kölcsönösen egyenlő, ennélfogva

B ∢ = D ∢

. Hogy tehát a két megfelelő párhuzamos legyen, szükséges hogy

B ∢ = D ∢

. De e feltétel egyúttal elégséges is. Ha u. i.

B ∢ = D ∢

, akkor

\begin{matrix} C ∢ = 360^{\circ} - D ∢ - B ∢ - A ∢ = 360^{\circ} - 2 D ∢ - A ∢, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{C ∢}{2} = 180^{\circ} - D ∢ - \frac{A ∢}{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} D A' A ∢ = \frac{C ∢}{2} = D C C' ∢, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A A' ∥ C C' . \end{matrix}

(Gádor Zoltán, Losonc.)

2^{\circ}

. Ha a két szögfelező egy egyenesbe esik, akkor

A B C ∢ ≅ A D C Δ

, mert a szögek egyenlők és az

A C

oldal közös. Ekkor tehát

A D = A B

és

D C = B C

, vagyis az idom deltoid, melynek oldalai ama két körnek érintői, amelyek egyike a négyszög oldalait belülről, másika pedig kívülről érinti.

(Mellinger Endre, Budapest.)