Kezdőlap


Feladat:	1280. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Czúcz A. , Ehrenfeld N. , Erdélyi I. , Gádor Z. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kürth R. , Mellinger E. , Sárközy P. , Tandlich E. , Velics L. , Vellis Lajos , Zichy R. gr.
Füzet:	1904/október, 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Mértani sorozat, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/április: 1280. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. A megadott kifejezés oly mértani haladvány összege, melyben a tagok száma $5 n$ , a hányados $2$ s így az összeg:

\begin{matrix} 2^{5 n} - 1 = {(2^{5})}^{n} - 1 = 32^{n} - 1^{n} . \end{matrix}

Két szám

n

-edik hatványainak különbsége pedig mindig osztható az alapok különbségével,

31

-gyel.

(Vellis Lajos, Kassa.)

Második megoldás. A megadott kifejezés így is írható:

\begin{matrix} 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}) + \end{matrix}

\begin{matrix} + 2^{2 \times 5} (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}) + ... + 2^{5 (n - 1)} (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}) (1 + 2^{5} + 2^{2 \times 5} + ... + 2^{5 (n - 1)} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 31 (1 + 2^{5} + 2^{2 \times 5} + ... + 2^{5 (n - 1)}) . \end{matrix}