Kezdőlap


Feladat:	1277. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Ehrenfeld Nándor , Gádor Z. , Kiss E. , Kürth R. , Mellinger E. , Tandlich E.
Füzet:	1904/december, 94 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Legnagyobb közös osztó, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/április: 1277. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$(1)$ Tegyük fel, hogy $(A^{2} + B^{2})$ -nek és $(A + B)$ -nek van közös törzsosztója; akkor e közös törzsosztó egyszersmind $(A^{2} + B^{2}) - (A^{2} + B^{2}) = 2 A B$ -nek is osztója; de $2 A B$ -nek egyik osztója $2$ , mely szám $(A^{2} + B^{2})$ - és $(A + B)$ -nek abban az esetben osztója, ha $A$ és $B$ páratlan szám. $2 A B$ szorzat más törzsosztója vagy $A$ -nak vagy pedig $B$ -nek is osztója, pl. $A$ -nak.
De $A$ -nak és $(A + B)$ -nek közös osztója $B$ -nek is osztója, ami a feltétel alapján nem lehetséges s így $(A^{2} + B^{2})$ -nek és $(A + B)$ -nek $1$ és $2$ -őn kívül más közös osztója nincs.
$(2)$ Ha $(A^{2} + B^{2})$ -nek és $(A^{2} - A B + B^{2})$ -nek van közös törzsosztója, akkor e közös törzsosztó egyúttal $(A^{2} + B^{2}) - (A^{2} - A B + B^{2}) = A B$ kifejezésnek is osztója. De az $(A^{2} + B^{2})$ és $A B$ közös törzsosztója egyúttal az $A B$ szorzat egyik tényezőjének is osztója, pl. $A$ -nak. De $A$ -nak és $(A^{2} + B^{2})$ -nek közös törzsosztója $B^{2}$ -nek, tehát $B$ -nek is osztója; ami pedig a feltétellel ellenkezik, vagyis $(A^{2} + B^{2})$ és $(A^{2} - A B + B^{2})$ kifejezéseknek $1$ -en kívül más közös osztója nem lehet.
$(1)$ - és $(2)$ -ből következik, hogy $(A^{2} + B^{2})$ és $(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = (A^{3} + B^{3})$ számoknak legnagyobb közös osztója $1$ vagy $2$ .

(Ehrenfeld Nándor, Nyitra.)