Kezdőlap


Feladat:	1270. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer Nándor , Czúcz A. , Ehrenfeld N. , Erdélyi I. , Fekete M. , Füstös P. , Gádor Z. , Grossmann Renée , Keller Gy. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kovács Gy. , Mellinger E. , Murarik A. , Neubauer K. , Neumann Frida , Pauli József , Sárközy P. , Schulhof Elza , Schwarz S. , Tandlich E. , Term. tud. kör, Bpest VII. ker. fg. , Velics L.
Füzet:	1905/április, 199 - 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/március: 1270. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Rajzoljuk meg az $A B C$ háromszög $B A$ oldala mellé $B$ -ben a $B_{1}$ szöget és hosszabbítsuk meg a $C A$ oldalt, míg az a $B_{1}$ szög másik szárát $C'$ -ben metszi. Így kapjuk a $B C C'$ háromszöget, melyben $B A$ a $C B C'$ szög szögfelezője. Legyen $A C' = b'$ és $B C' = a'$ . Mint ismeretes (K.M.L.V.96.l.)

\begin{matrix} a a' = b b' + {\bar{B A}}^{2} = c^{2} + b b' . \end{matrix}

(1)

De a föltételeknek megfelelő bármely háromszög hasonló az

A B C'

háromszöggel s így, ha egy ilyen háromszögnek oldalai

a_{1}, b_{1}

és

c_{1}

, akkor

\begin{matrix} c : c_{1} = b' : b_{1} = a' : a_{1}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} b' = \frac{c b_{1}}{c_{1}} és a' = \frac{a_{1} c}{c_{1}}, \end{matrix}

mely értékeket

(1)

-be téve, ered:

\begin{matrix} a \frac{a_{1} c}{c_{1}} = c^{2} + b \frac{c b_{1}}{c_{1}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a a_{1} = b b_{1} + c c_{1} . \end{matrix}

(Bayer Nándor, Losoncz.)

II. megoldás.

\begin{matrix} \frac{b}{a} = \frac{sin β}{sin α}, \frac{b_{1}}{a_{1}} = \frac{sin β}{sin α}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{c}{a} = \frac{sin (α + β)}{sin α}, \frac{c_{1}}{a_{1}} = \frac{sin (α - β)}{sin α} . \end{matrix}

Eme egyenletekből ered, hogy

\begin{matrix} \frac{b b_{1}}{a a_{1}} = \frac{sin^{2} β}{sin^{2} α}, \frac{c c_{1}}{a a_{1}} = \frac{sin (α + β) sin (α - β)}{sin^{2} α}, \end{matrix}

az utolsó két egyenletet egymáshoz adva,

\begin{matrix} \frac{b b_{1} + c c_{1}}{a a_{1}} = \frac{sin^{2} β + sin^{2} α cos^{2} β - cos^{2} α sin^{2} β}{sin^{2} α} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{sin^{2} β (1 - cos^{2} α) + sin^{2} α cos^{2} β}{sin^{2} α} = 1 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} b b_{1} + c c_{1} = a a_{1} . \end{matrix}

(Pauli József, Nagykikinda.)