Kezdőlap


Feladat:	1268. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hajdu Pál , Pichler S.
Füzet:	1905/december, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Súlyvonal, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/március: 1268. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $A, B, C$ -vel a háromszög csúcsait; $K$ -val az $A B$ oldal középpontját és $k_{n}$ -nel a $C$ csúcson át az $A B$ - vel párhuzamosan haladó egyenest.

A keresett mértani hely mindenesetre egy kúpfelület, melynek csúcsa

C

. Tegyünk a

C

-n át egy

A B

-vel párhuzamos

π_{1}

síkot, akkor ez átmegy a

k_{n}

egyenesen. Vetítsük e síkra az

A, B

és

K

pontokat és jelöljük e vetületeket rendre

A_{1}, B_{1}

és

K_{1}

-gyel. Az

A B C

síkban a

C K

súlyvonal egyenlő távolságban van az

A

és

B

pontoktól, a

π_{1}

síkban pedig a

C K_{1}

egyenesnek van ilyen tulajdonsága. Hogy ezt kimutassuk, rajzoljunk az

A_{1}

és

B_{1}

pontokból merőlegeseket a

C K_{1}

-re és jelöljük a talppontokat

Q_{1}

, illetőleg

R_{1}

-gyel. Mivel

A_{1} Q_{1}

A Q_{1}

-nek és

B_{1} R_{1}

B R_{1}

-nek a

π_{1}

síkra eső vetülete, azért az

A Q_{1}

és

B R_{1}

egyenesek is merőlegesek a

C K_{1}

-re.
Már most

\begin{matrix} A A_{1} Q_{1} Δ ≅ B B_{1} R_{1} Δ, \end{matrix}

mert

\begin{matrix} A A_{1} = B B_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} A_{1} Q_{1} = B_{1} R_{1}, \end{matrix}

mert

C K_{1}

C A_{1} B_{1}

háromszög súlyvonala és végül

\begin{matrix} A A_{1} Q_{1} ∢ = B B_{1} R_{1} ∢ = 90^{\circ} . \end{matrix}

Tehát csakugyan

\begin{matrix} A Q_{1} = B R_{1} . \end{matrix}

Ugyanígy megrajzolhatjuk a

C

ponton átmenő

A B

-vel párhuzamos

π_{2}, π_{3}, ...

síkokon is a

K_{2}, K_{3}, ...

pontokat és kimutatható, hogy a

C K_{2}, C K_{3}, ...

egyenesek mindegyike egyenlő távolra fekszik az

A

és

B

csúcsoktól.
Jelöljük a

π

síkok közt az

A B C

síkra merőlegest

π_{n}

-nel, a mely az

A B C

síkot éppen

k_{n}

-ben metszi. A

k_{n}

párhuzamos lévén

A B

-vel, egyenlő távolságban van az

A

és

B

pontoktól.

K

-ból a

k_{n}

-re rajzolt merőleges talppontját jelöljük

K_{n}

-nel, akkor

K_{i} K_{n}

π_{i}

síkban van és mivel

K K_{i}

merőleges

π_{i}

-re, tehát merőleges a talppontján átmenú összes egyenesekre és így

K_{i} K_{n}

-re is. Tehát

\begin{matrix} K K_{i} K_{n} ∢ = 90^{\circ} . \end{matrix}

K, K_{1}, K_{2}, ..., K_{i}, ..., K_{n}

pontok mértani helye tehát a

K K_{n}

, mint átmérő fölé rajzolt kör. A keresett egyenesek mértani helye tehát az a kúppalást, melynek csúcsa

C

, s melynek a

K K_{n}

, mint átmérő fölé rajzolt kör egyik körmetszete.

(Hajdu Pál, Budapest.)