Kezdőlap


Feladat:	1266. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer Nándor , Czúcz A. , Domokos Gy. , Ehrenfeld N. , Erdélyi I. , Erdős V. , Ertler A. , Fekete M. , Füstös P. , Gádor Z. , Grossmann Renée , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kovács Gy. , Kürth R. , Mellinger E. , Murarik A. , Neubauer C. , Neumann Frida , Sárközy P. , Schulhof Elza , Tandlich E. , Velics L.
Füzet:	1904/december, 103 - 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/március: 1266. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Legyen $C D$ az $A B$ oldalhoz tartozó középvonal, továbbá $A C D ∢ = γ_{1}, D C B ∢ = γ_{2}$ . Ekkor

\begin{matrix} k_{3} : \frac{c}{2} = sin α : sin γ_{1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} k_{3} : \frac{c}{2} = sin β : sin γ_{2}, \end{matrix}

mely egyenletekből:

\begin{matrix} \frac{sin α}{sin β} = \frac{sin γ_{1}}{sin γ_{2}}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} \frac{sin α + sin β}{sin α - sin β} = \frac{sin γ_{1} + sin γ_{2}}{sin γ_{1} - sin γ_{2}}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{tg \frac{γ_{1} + γ_{2}}{2}}{tg \frac{γ_{1} - γ_{2}}{2}} = \frac{tg \frac{α + β}{2}}{tg \frac{α - β}{2}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} tg \frac{γ_{1} - γ_{2}}{2} = \frac{tg \frac{α - β}{2}}{tg \frac{α + β}{2}} \cdot tg \frac{γ_{1} + γ_{2}}{2}, \end{matrix}

vagy végre

\begin{matrix} tg \frac{γ_{1} - γ_{2}}{2} = \frac{tg \frac{α - β}{2}}{tg \frac{α + β}{2}} \cdot ctg \frac{α + β}{2} . \end{matrix}

Eme egyenletből kiszámítjuk

γ_{1} - γ_{2}

-et; de

γ_{1} + γ_{2}

ismeretes, ennélfogva

γ_{1}

és

γ_{2}

meghatározható. Az

A D C

és

B D C

háromszögekből egy-egy oldal és két-két szög ismeretes lévén, a hiányzó alkatrészek kiszámíthatók.

(Schulhof Elza, Budapest.)

Második megoldás. Ha

C D B ∢ = ϵ

, akkor

\begin{matrix} a^{2} = \frac{c^{2}}{4} + k_{3}^{2} + c k_{3} cos ϵ \end{matrix}

és

\begin{matrix} b^{2} = \frac{c^{2}}{4} + k_{3}^{2} - c k_{3} cos ϵ, \end{matrix}

mely egyenletekből

\begin{matrix} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2} = 4 k_{3}^{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} a = \frac{c sin α}{sin γ}, b = \frac{c sin β}{sin γ}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} c^{2} = \frac{4 k_{3}^{2} sin^{2} γ}{2 sin^{2} α + 2 sin^{2} β - sin^{2} γ} . \end{matrix}

(Bayer Nándor, Losonc.)