Kezdőlap


Feladat:	1263. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ehrenfeld N. , Kirchknopf E. , Kovács Gy. , Rátz Károly
Füzet:	1905/november, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Permutációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/március: 1263. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a házaspárokat a következő elemekkel $a_{1} a_{2}, b_{1} b_{2}, c_{1} c_{2}$ és $d_{1} d_{2}$ . Minthogy feladatunk csak azt kívánja, hogy egy férfi sem kerüljön a saját felesége mellé, feltesszük, hogy $a_{1}$ állandóan megtartja a helyét. Ekkor a többi elem $7!$ helyet foglalhat el. Minthogy $a_{1}$ és $a_{2}$ nem kerülhetnek egymás mellé, azért $a_{2}$ sem a második, sem pedig a nyolcadik helyre nem juthat. Így tehát eme első feltétel tekintetbe vételével a külömböző elhelyezések száma

\begin{matrix} 7! - 2 \cdot 6! \end{matrix}

(1)

b_{1}

nem kerülhet

b_{2}

mellé. Ennélfogva

(1)

-ből

2 \cdot 6!

kivonandó, csakhogy

(1)

-ben már tekintetbe vettük azokat az eseteket, melyekben

b_{1} b_{2}

mellé és egyúttal az

a_{1} a_{2}

mellé kerül, miért

4 \cdot 5!

levonandó

2 \cdot 6!

-ból. Így tehát a második feltételt tekintetbe véve,

(1)

-ből kivonandó

\begin{matrix} 2 \cdot 6! - 4 \cdot 5! \end{matrix}

(2)

Harmadik feltételünk az, hogy

c_{1}

nem kerülhet

c_{2}

mellé.

(1)

-ből ismét ki kellene vonnunk

2 \cdot 6!

-ot. De

(1)

-ben már tekintetbe vettük azokat az eseteket, melyekben

c_{1} c_{2}

mellé és egyúttal

a_{1} a_{2}

mellé kerül, tehát ismét

2 \cdot 6! - 4 \cdot 5!

lesz a kivonandó. Még figyelnünk kell arra is, hogy

(2)

-ben tekintettel voltunk ama esetekre, melyekben

c_{1} c_{2}

mellé és egyúttal

b_{1} b_{2}

mellé kerül. Ennélfogva a harmadik feltételt is tekintetbe véve

(1)

-ből még kivonandó:

\begin{matrix} (2 \cdot 6! - 4 \cdot 5!) - (4 \cdot 5! - 8 \cdot 4!) \end{matrix}

(3)

A negyedik feltételt is tekintetbe véve, hogy t. i.

d_{1}

és

d_{2}

sem kerülhetnek egymás mellé,

(1)

-ből végre még kivonandó:

\begin{matrix} (2 \cdot 6! - 4 \cdot 5!) - (4 \cdot 5! - 8 \cdot 4!) + (8 \cdot 4! - 16 \cdot 3!)] \end{matrix}

(4)

Ennélfogva végeredményünk lesz

\begin{matrix} 7! - 2 \cdot 6! - (2 \cdot 6! - 4 \cdot 5!) - [(2 \cdot 6! - 4 \cdot 5!) - (4 \cdot 5! - 8 \cdot 4!)] - \end{matrix}

\begin{matrix} - [(2 \cdot 6! - 4 \cdot 5!) - 2 (4 \cdot 5! - 8 \cdot 4!)] + (8 \cdot 4! - 16 \cdot 3!) \end{matrix}

Vagy más alakban

\begin{matrix} 7! - 2 \cdot 6! - [3 (2 \cdot 6! - 4 \cdot 5!) - 12 \cdot 5! + 24 \cdot 4! + 8 \cdot 4! - 16 \cdot 3!] = \end{matrix}

\begin{matrix} = 7! - 8 \cdot 6! + 24 \cdot 5! - 32 \cdot 4! + 16 \cdot 3!)] = \end{matrix}

\begin{matrix} = 5040 - 5760 + 2880 - 768 + 96 = 1488. \end{matrix}

(Rátz Károly, Bécs.)