Feladat:	1247. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó L. ,  Bauer El. ,  Czúcz A. ,  Erdélyi I. ,  Fekete M. ,  Füstös P. ,  Hajdu P. ,  Kirchknopf E. ,  Kiss E. ,  Léber Gy. ,  Mellinger E. ,  Molnár S. ,  Murarik A. ,  Neubauer C. ,  Neubold Ö. ,  Pichler S. ,  Schuller A. ,  Schvarcz Sándor ,  Schwarz Gy. ,  Szilas O. ,  Sztáity J. ,  Sztrókay K. ,  Tandlich E. ,  Tóth B. ,  Wellis D. ,  Wellis E.
Füzet:	1904/június, 172. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/február: 1247. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{9}{10}=\frac{3}{6}+\frac{2}{5}\mathrm{.}}\end{array}$ De $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{2}{6}\cdot \frac{6}{5}=\frac{2}{6}\frac{1}{\frac{5}{6}}=\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{6}}=\frac{2}{6}\left[1+\frac{1}{6}+{\frac{1}{6}}^2+\text{...}\right]\mathrm{,}}\end{array}$ Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{9}{10}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+{\frac{2}{6}}^2+\text{...}=\frac{5}{6}+\frac{2}{6^2}+\frac{2}{6^3}+\text{...}}\end{array}$ (Schwarcz Sándor, Beregszász.)   Jegyzet. Könnyen kimutathatjuk, hogy $\frac{6}{5}$ csak az előbbi alakban állítható elő a feladatnak megfelelően. Tegyük fel ugyanis, hogy ily alakban is előállítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{6}{5}=a_0+\frac{a_1}{6}+\frac{a_2}{6^2}+\text{...}+\frac{a_n}{6^n}+\text{...}}\end{array}$ Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle a_0-1+\frac{a_1-1}{6}+\frac{a_2-1}{6^2}+\text{...}+\frac{a_n-1}{6^n}+\text{...}=0.}\end{array}$ Minthogy pedig mindegyik tört nemnegatív, azért az egyenlet csakis úgy állhat fenn, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle a_0=a_1=a_2=\text{...}=a_n=\text{...}=1.}\end{array}$