Kezdőlap


Feladat:	1239. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Brichta L. , Ehrenfeld N. , Füstös P. , Hajdú P. , Horti V. , Keller Gy. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kovács Gyula , Léber Gy. , Mellinger E. , Pichler S. , Sárközy P. , Schuster Gy. , Szilas O.
Füzet:	1904/március, 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/január: 1239. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az alaplap területe $A$ , a gúla magassága $m$ , oldaléle $l$ , alapéle $a$ , az alap köré írható kör sugara $r$ . Akkor a gúla köbtartalma:

\begin{matrix} K = \frac{A m}{3} = \frac{m}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot a^{2} ctg 18^{\circ} = \frac{5}{6} m a^{2} ctg 18^{\circ}, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} m^{2} + r^{2} = l^{2} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} r = \frac{a}{2 sin 18^{\circ}} \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} l = \frac{a}{2 sin 9^{\circ}} \end{matrix}

(4)

(3)

-at és

(4)

-et négyzetre emelve és

(2)

-be helyettesítve, ered:

\begin{matrix} a^{2} = \frac{4 m^{2} sin^{2} 18^{\circ}}{1 + 2 cos 18^{\circ}}, \end{matrix}

mit

(1)

-be téve, ered:

\begin{matrix} K = \frac{5 m^{3} sin 36^{\circ}}{3 (1 + 2 cos 18^{\circ})}, \end{matrix}

m

-nek értékét helyettesítve, lesz:

\begin{matrix} K = 20023 {cm}^{3} . \end{matrix}

(Kovács Gyula, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Brichta L., Ehrenfeld N., Füstös P., Hajdú P., Horti V., Keller Gy., Kirchknopf E., Kiss E., Léber Gy., Mellinger E., Pichler S., Sárközy P., Schuster Gy., Szilas O.