Kezdőlap


Feladat:	1237. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó L. , Ehrenfeld N. , Fodor H. , Hajdú P. , Mellinger E. , Neubauer C. , Pichler Sándor , Sárközy P. , Schuster Gy. , Tandlich E. , Term. tud. kör, Bpest VII. ker. fg. , Vilcsek A.
Füzet:	1904/december, 100 - 101. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Érintőnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/január: 1237. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen

\begin{matrix} D B P ∢ = φ, D B = A C = a, P M ⊥ B D, P N ⊥ A C . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} sin φ = \frac{2 \cdot D B P Δ}{P B \cdot P D} = \frac{2 \cdot a \cdot P M}{2 \cdot P B \cdot P D} \end{matrix}

és

\begin{matrix} cos φ = \frac{{\bar{D P}}^{2} + {\bar{P B}}^{2} - a^{2}}{2 \cdot P B \cdot P D}, \end{matrix}

vagy minthogy (K. M.L. IV. 63.)

\begin{matrix} {\bar{D P}}^{2} + {\bar{P B}}^{2} = 2 \cdot {\bar{P O}}^{2} + 2 \cdot {\bar{O B}}^{2}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} cos φ = \frac{2 \cdot {\bar{P O}}^{2} + 2 \cdot {\bar{O B}}^{2} - a^{2}}{2 \cdot P B \cdot P D} = = - \frac{2 r^{2}}{2 \cdot P B \cdot P D}; \end{matrix}

így tehát

\begin{matrix} tg φ = \frac{sin φ}{cos φ} = \frac{2 \cdot a \cdot P M}{- 2 r^{2}} = - \frac{2 \sqrt[]{2} \cdot P M}{r}, \end{matrix}

hasonlóképpen nyerjük, hogy

\begin{matrix} tg ψ = - \frac{2 \sqrt[]{2} \cdot P N}{r} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} {tg}^{2} φ + {tg}^{2} ψ = \frac{8 \cdot {\bar{P M}}^{2}}{r^{2}} + \frac{8 \cdot {\bar{P N}}^{2}}{r^{2}} = 8 \frac{{\bar{P M}}^{2} + {\bar{P N}}^{2}}{r^{2}} = 8. \end{matrix}

(Pichler Sándor, Budapest.)