Kezdőlap


Feladat:	1236. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ehrenfeld N. , Erdélyi I. , Fekete M. , Fodor H. , Földes R. , Haar Alfréd , Hajdu P. , Kirchknopf E. , Kiss J. , Mellinger E. , Neubauer C. , Pichler S. , Sárközy P. , Schwarz S. , Szilas O.
Füzet:	1904/november, 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Középvonal, Körülírt kör, Súlypont, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/január: 1236. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

E tétel kimutatható arra az általános esetre, ha $G$ a háromszög síkjának egy tetszőleges pontja.
Ha u. i. az $A G, B G, C G$ egyenesek az $A B C$ háromszög köré írt kört másodszor $D, E, F$ -ben metszik, akkor

\begin{matrix} A G B Δ \sim E G D Δ, \end{matrix}

mert

\begin{matrix} B A D ∢ = G E D ∢ és B G A ∢ = E G D ∢, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{A G}{E G} = \frac{A B}{D E} . \end{matrix}

Ugyanígy nyerjük a

\begin{matrix} \frac{B G}{F G} = \frac{B G}{E F}, \frac{C G}{D G} = \frac{A C}{D F} . \end{matrix}

egyenlőségeket, melyeknek szorzata az

\begin{matrix} \frac{A G \cdot B G \cdot C G}{D G \cdot E G \cdot F G} = \frac{A B \cdot B C \cdot A C}{D E \cdot E F \cdot D F} \end{matrix}

(1)

egyenletet adja. Jelöljük

T

és

T'

-vel az

A B C

, illetőleg a

D E F

háromszög területét, akkor a háromszög köré írható kör sugara

\begin{matrix} R = \frac{A B \cdot A C \cdot B C}{4 T} = \frac{D E \cdot E F \cdot D F}{4 T'}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} \frac{A B \cdot A C \cdot B C}{D E \cdot E F \cdot D F} = \frac{T}{T'} . \end{matrix}

(1)

alatti egyenlőség tehát így írható:

\begin{matrix} \frac{A G \cdot B G \cdot C G}{D G \cdot E G \cdot F G} = \frac{T}{T'} . \end{matrix}

(Haar Alfréd, bölcsészethallgató, Budapest.)