Kezdőlap


Feladat:	1234. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czúcz A. , Ehrenfeld N. , Erdélyi I. , Fodor H. , Hajdú P. , Jánosy Gy. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kiss J. , Kovács Gy. , Kürth R. , Mellinger E. , Neubauer C. , Pichler S. , Sárközy Pál , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Szilas O. , Természettudományi kör, Bpest. VII. ker. , Vilcsek A.
Füzet:	1904/március, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középvonal, Körülírt kör, Súlypont, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/január: 1234. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $A G$ középvonal a háromszög $B C$ oldalát $I$ -ben, a háromszög köré írt kör kerületét pedig $D$ -ben metszi, akkor

\begin{matrix} p^{2} = A G \cdot G D = A G \cdot (G I + I D) = \frac{2}{3} k_{1} \cdot (\frac{1}{3} k_{1} + I D), \end{matrix}

\begin{matrix} I D \cdot k_{1} = \frac{a^{2}}{4} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} p^{2} = \frac{2}{9} k_{1}^{2} + \frac{a^{2}}{6} . \end{matrix}

Hasonlóképpen nyerjük, hogy

\begin{matrix} p^{2} = \frac{2}{9} k_{2}^{2} + \frac{b^{2}}{6}, p^{2} = \frac{2}{9} k_{3}^{2} + \frac{c^{2}}{6}; \end{matrix}

e három egyenlet összeadásából ered, hogy

\begin{matrix} p^{2} = \frac{2}{27} (k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2}) + \frac{1}{18} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}

Minthogy pedig (K. M. L. IV. 63.)

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = \frac{4}{3} (k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2}), \end{matrix}

azért

\begin{matrix} p^{2} = \frac{4}{27} (k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2}) . \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)

A feladatot még megoldották: Czúcz A., Ehrenfeld N., Erdélyi I., Fodor H., Hajdú P., Jánosy Gy., Kirchknopf E., Kiss E., Kiss J., Kovács Gy., Kürth R., Mellinger E., Neubauer C., Pichler S., Schuster Gy., Schwarz S., Szilas O., Vilcsek A., Természettudományi kör, Bpest, VII. ker.