Kezdőlap


Feladat:	1230. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kirchknopf Ervin , Sárközy Pál
Füzet:	1904/március, 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/január: 1230. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Ha $x_{1}$ és $x_{2}$ az $x^{2} + p x + q = 0$ egyenlet gyökei, akkor $- x_{1}$ és $- x_{2}$ az $x^{2} - p x + q = 0$ egyenlet gyökei. A keresett egyenlet tehát

\begin{matrix} (x^{2} + p x + q) (x^{2} - p x + q) = 1, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x^{4} - (p^{2} - 2 q) x^{2} + q^{2} = 0. \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)

Második megoldás. A keresett egyenlet:

\begin{matrix} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x + x_{1}) (x + x_{1}) = 0, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} (x^{2} - x_{1}^{2}) (x^{2} - x_{2}^{2}) = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} x^{4} - (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) x^{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 0. \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = p^{2} - 2 q \end{matrix}

és

\begin{matrix} x_{1}^{2} x_{2}^{2} = q^{2}, \end{matrix}

tehát

(1)

-ből lesz:

\begin{matrix} x^{4} - (p^{2} - 2 q) x^{2} + q^{2} = 0. \end{matrix}

(Kirchknopf Ervin, Budapest. )

Megoldások száma: 40.