Kezdőlap


Feladat:	1228. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó L. , Brichta L. , Ehrenfeld Nándor , Epstein K. , Erdélyi I. , Erdős V. , Fodor H. , Földes R. , Hajdu P. , Jánosy Gy. , Kiss E. , Kovács Gy. , Kürth R. , Mellinger E. , Neubauer C. , Pichler S. , Sárközy P. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Szilas O. , Ujj Gy.
Füzet:	1904/szeptember, 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Prímszámok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/január: 1228. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1$ . $a^{2} - 1$ és $b^{2} - 1$ osztható $2^{3} \cdot 3$ -mal. Minthogy $a$ abszolut prímszám, azért $a^{2} - 1 = (a + 1) (a - 1)$ kifejezésben úgy $a + 1$ mint $a - 1$ osztható $2$ -vel, sőt az egyik tényező osztható $4$ -gyel, mert két egymásra következő páros szám egyike mindig többszöröse $4$ -nek. Azonkívül az egyik tényező $3$ -mal is osztható, mert $a - 1, a, a + 1$ a természetes számsornak három egymásra következő tagja. Ennélfogva $a^{2} - 1$ s ugyanígy $b^{2} - 1$ is osztható $2^{3} \cdot 3$ -mal.

2

a^{6} - b^{6}

osztható

2^{3} \cdot 3^{2}

-tel. Két,

3

-nál nagyobb abszolut prímszám négyzeteinek külömbsége mindig osztható

24 = 2^{3} \cdot 3

-mal (Math. Gyakorló. könyv I. 134. feladat), továbbá ha az

a

és

b

számok nem oszthatók

3

-mal, akkor

a^{6} - b^{6}

osztható

9 = 3^{2}

-vel (K. M. L. XI. 21. l.). Így tehát

a^{6} - b^{6}

osztható

2^{3} \cdot 3^{2}

-tel.

3

a^{6} - b^{6}

osztható

7

-tel. A feladat értelmében

a

és

b

ilyen alakúak

7 P \pm 1, 7 P \pm 2,7 p \pm 3

. Ha e számokat

6

-tal hatványozzuk, akkor ilyen alakú kifejezések erednek:

\begin{matrix} 7 q + 1^{6} = 7 q + 1, \end{matrix}

\begin{matrix} 7 r + 2^{6} = 7 r + 64 = 7 r' + 1, \end{matrix}

\begin{matrix} 7 s + 3^{6} = 7 s + 729 = 7 s' + 1. \end{matrix}

Miből látható, hogy

a^{6} - b^{6}

mindig többszöröse

7

-nek.

4

. Az eddigiek alapján tehát a megadott kifejezés osztható

\begin{matrix} 2^{9} \cdot 3^{4} \cdot 7 = 290304 -gyel . \end{matrix}

(Ehrenfeld Nándor, Nyitra.)