Kezdőlap


Feladat:	1220. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fekete M. , Fodor H. , Hajdú P. , Jánosy Gy. , Kiss E. , Mellinger Endre , Neubauer C. , Pichler S. , Sárközy P. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Term. tud. kör, Bpest VII. ker. fg.
Füzet:	1904/február, 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/december: 1220. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C D$ a négyzet, melynek csúcsaiban az $a, b, c$ és $d$ fák állanak. A négyzet belsejében levő $0$ pontból a négyzet oldalaival párhuzamosokat rajzolunk, melyek az $A B, B C, C D$ és $D A$ oldalakat az $F, G, E$ és $H$ pontokban metszik. Ekkor a feladat értelmében, ha a fák csúcsainak az $0$ -tól való távolságait $r$ -rel jelöljük:

\begin{matrix} a^{2} = r^{2} - {\bar{D E}}^{2} - {\bar{B G}}^{2} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} b^{2} = r^{2} - {\bar{E C}}^{2} - {\bar{B G}}^{2} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} c^{2} = r^{2} - {\bar{E C}}^{2} - {\bar{C G}}^{2} \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} d^{2} = r^{2} - {\bar{D E}}^{2} - {\bar{C G}}^{2} \end{matrix}

(4)

(4)

-be

(1)

-ből és

(3)

-ból

{\bar{D E}}^{2}

-nek és

{\bar{C G}}^{2}

-nek értékeit helyettesítve:

\begin{matrix} d^{2} = r^{2} + a^{2} - r^{2} + {\bar{B G}}^{2} + c^{2} - r^{2} + {\bar{E C}}^{2}, \end{matrix}

vagy

(2)

-t tekintetbe véve:

\begin{matrix} d^{2} = a^{2} + c^{2} - b^{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} d = \sqrt[]{a^{2} + c^{2} - b^{2}} . \end{matrix}

(Mellinger Endre, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Fekete M., Fodor H., Hajdú P., Jánosy Gy., Kiss E., Neubauer C., Pichler S., Sárközy P., Schuster Gy., Schwarz Gy., Term. tud. kör, Budapest. VII. ker.