Kezdőlap


Feladat:	1219. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bayer N. , Czúcz A. , Ehrenfeld N. , Fekete M. , Fodor H. , Hajdú P. , Hermann M. , Kiss E. , Kürth R. , Lusztig M. , Mellinger E. , Pichler S. , Sárközy P. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Strasser István , Tandlich E.
Füzet:	1905/március, 170 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Beírt kör, Magasságpont, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/december: 1219. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $A'$ -, $B'$ -, $C'$ -vel az $A B C$ háromszög oldalainak felezőpontjait, továbbá $O$ -val a háromszög köré írható kör középpontját.
Minthogy $A B' O C'$ négyszög húrnégyszög, azért erre a négyszögre alkalmazható Ptolemaios tétele, mely szerint:

\begin{matrix} A B' \cdot O C' + A C' \cdot O B' = B' C' \cdot A O . \end{matrix}

(1)

Ismeretes (K. M. L. VII. 144. l.) hogy minden háromszögben

\begin{matrix} O A' = \frac{A M}{2}, O B' = \frac{B M}{2}, O C' = \frac{C M}{2}, \end{matrix}

(2)

ahol

M

a háromszög magassági pontja.
Ha még tekintetbe vesszük, hogy

\begin{matrix} A B' = \frac{b}{2}, A C' = \frac{c}{2}, B' C' = \frac{a}{2}, és O A = R, \end{matrix}

akkor az

(1)

alatti egyenlőség így is írható:

\begin{matrix} b \frac{C M}{2} + c \frac{B M}{2} = a R . \end{matrix}

(3)

Ugyanígy nyerjük az

\begin{matrix} a \frac{B M}{2} + b \frac{A M}{2} = c R . \end{matrix}

(4)

és

\begin{matrix} c \frac{A M}{2} + a \frac{C M}{2} = b R . \end{matrix}

(5)

egyenleteket is. Másrészt azonban a háromszög kettős területe

\begin{matrix} 2 t = a \cdot A' O + b \cdot B' O + c \cdot C' O = (a + b + c) r . \end{matrix}

(2)

alatti összefüggéseket tekintetbe véve, ez utóbbi egyenlet így is írható:

\begin{matrix} a \frac{A M}{2} + b \frac{B M}{2} + c \frac{C M}{2} = (a + b + c) r . \end{matrix}

(6)

Adjuk össze a

(3), (4), (5)

és

(6)

alatti egyenleteket, akkor ered:

\begin{matrix} (a + b + c) (\frac{A M}{2} + \frac{B M}{2} + \frac{C M}{2}) = (a + b + c) (R + r) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} A M + B M + C M = 2 R + 2 r . \end{matrix}

(Strasser István, Budapest.)