Kezdőlap


Feladat:	1218. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schuster György
Füzet:	1904/április, 163 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Magasságvonal, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/december: 1218. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy minden háromszögben

\begin{matrix} m_{b} = a sin γ és m_{c} = a sin β . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} m_{b} - m_{c} = a (sin γ - sin β) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} m_{b} - m_{c} = 2 a sin \frac{γ - β}{2} cos \frac{γ + β}{2} \end{matrix}

(1)

Ámde másrészt

\begin{matrix} a = 2 R sin α \end{matrix}

és

\begin{matrix} cos \frac{γ + β}{2} = sin (90^{\circ} - \frac{γ + β}{2}) = sin \frac{α}{2}, \end{matrix}

tehát az

(1)

alatti egyenlet így is írható:

\begin{matrix} m_{b} - m_{c} = 4 R sin α sin \frac{α}{2} sin \frac{γ - β}{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} sin \frac{γ - β}{2} = \frac{m_{b} - m_{c}}{4 R sin α sin \frac{α}{2}} . \end{matrix}

A megadott érékeket behelyettesítve, ered:

\begin{matrix} \frac{γ - β}{2} = 15^{\circ} 48' 4'' \end{matrix}

minthogy pedig

\begin{matrix} \frac{γ + β}{2} = 90^{\circ} - \frac{α}{2} = 66^{\circ} 30', \end{matrix}

azért

\begin{matrix} γ = 82^{\circ} 18' 4'' és β = 50^{\circ} 41' 56'' . \end{matrix}

Az oldalakat megadják az

\begin{matrix} a = 2 R sin α, b = 2 R sin β, c = 2 R sin γ \end{matrix}

képletek. A részletes számításokat elvégezve

\begin{matrix} a = 12,433 m, b = 13,156 m, c = 16,847 m . \end{matrix}

(Schuster György, Budapest.)

Megoldások száma: 37.