Kezdőlap


Feladat:	1213. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bánó László , Erdélyi I. , Hajdu (Heimlich) P. , Kirchknopf E. , Kovács Gy.
Füzet:	1904/február, 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Permutációk, Kombinációk, Variációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/december: 1213. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A következőkben először kiszámítjuk, hogy a $0$ -tól $9$ -ig terjedő jegyekből hány $1, 2, 3, 4$ és $5$ jegyű szám alakítható. Minthogy azonban az olyan számok, melyekben az első jegy $O$ , tekintetbe nem vehetők, azért a helyes eredményeket úgy kapjuk meg, hogy az első sorban nyert eredményeket $\frac{9}{10}$ -del megszorozzuk.

1^{\circ}

. Az

5

egyenlő jegyből alakítható ötjegyű számok száma:

\begin{matrix} \frac{9}{10} C_{1} (10) = 9. \end{matrix}

2^{\circ}

. Két külömböző jegyből a következő képletek szerint alakíthatók ötjegyű számok:

a b b b b, a a b b b, a a a b b, a a a a b

. Ha

a

-nak és

b

-nek csak egy-egy értéke volna (pl.

a = 1, b = 2)

, akkor az egyes csoportok száma volna

\frac{5!}{4!} = 5, \frac{5!}{2! 3!} = 10, \frac{5!}{3! 2!} = 10, \frac{5!}{4!} = 5

, vagyis összesen

30

. De minthogy

10

jegyből

(\binom{10}{2})

számpár választható ki, azért az összes csoportok száma

45 \cdot 30 = 1350

. Ha még tekintetbe vesszük, hogy a csoportok egytizedrészében első helyen

0

áll, akkor a tekintetbe jövő csoportok száma:

\frac{9}{10} \cdot 1350 = 1215

. Képletben az eredményt így fejezhetjük ki:

\begin{matrix} \frac{9}{10} \cdot (\binom{10}{2}) \cdot [2 \cdot \frac{5!}{4!} + 2 \cdot \frac{5!}{2! 3!}] = 1215. \end{matrix}

3^{\circ}

. Az előbbeni eljárásnak megfelelően kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{9}{10} \cdot (\binom{10}{3}) \cdot [3 \cdot \frac{5!}{3!} + 3 \cdot \frac{5!}{2! 2!}] = 16200. \end{matrix}

4^{\circ}

\begin{matrix} \frac{9}{10} \cdot (\binom{10}{4}) \cdot [4 \cdot \frac{5!}{2!}] = 45360. \end{matrix}

5^{\circ}

\begin{matrix} \frac{9}{10} \cdot (\binom{10}{5}) \cdot 5! = 27216. \end{matrix}

A nyert eredményeket összeadva ered

90000

.
E szám megegyezik a

10

jegyből alakítható összes ötjegyű számok számával; a mennyiben

\frac{9}{10} V {_{5}}^{i} (10) = 90000

-rel, a mi egyúttal eljárásunk helyességét is igazolja.

(Bánó László, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Erdélyi J., Hajdu (Heimlich) P., Kirchknopf E., Kovács Gy.