Kezdőlap


Feladat:	1209. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ehrenfeld N. , Erdős V. , Fodor H. , Fuchs I. , Füstös P. , Földes R. , Heimlich Pál , Kirchknopf E. , Kiss E. , Lusztig M. , Pichler S. , Rosenthal M. , Schuster Gy. , Szekeres O.
Füzet:	1904/január, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Körülírt kör, Magasságpont, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/november: 1209. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $F$ -fel az $A M$ magasság talppontját, $E$ -vel a $B C$ oldal középpontját, $O$ -val a háromszög köré írható kör középpontját. Az $A''$ és $A'''$ pontok a $B C$ oldalnak két külömhöző oldalán feküsznek, miért is az $A' A''$ és $A' A'''$ egyenesek közül az egyik metszi $B C$ -t. Tegyük fel, hogy az $A'$ és $A''$ pontok a $B C$ oldalnak ugyanazon oldalán feküsznek.
Minthogy $A'$ tükörképe $M$ -nek $B C$ -re vonatkozólag, azért

\begin{matrix} M E = A' F . \end{matrix}

(1)

Ennélfogva

\begin{matrix} M E = A' E \end{matrix}

és

\begin{matrix} M E F ∢ = A' E F ∢ = A'' E C ∢ . \end{matrix}

Így tehát

\begin{matrix} O E A' ∢ = O E A'' ∢ = 90^{\circ} + A' E F ∢ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} O E A' Δ ≅ O E A'' Δ \end{matrix}

s ennélfogva

\begin{matrix} A' E = A'' E = E M . \end{matrix}

(2)

(1)

-ből és

(2)

-ből következik, hogy

\begin{matrix} E F ∥ A' A'' \end{matrix}

vagyis, hogy

\begin{matrix} A' A'' ∥ B C . \end{matrix}

(Heimlich Pál, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Ehrenfeld N., Erdős V., Fodor H., Földes H., Fuchs I., Füstös P., Kirchknopf E., Kiss E., Lusztig M., Pichler S., Rosenthal M., Schuster Gy., Szekeres O.