Először csakis a vörös és fekete golyókat helyezzük el. Minthogy $4$ vörös és $2$ fekete golyónk van, az összes elhelyezések száma $\frac{6!}{4!2!}=15$. Vizsgáljuk most meg, hogy eme elhelyezések között hány olyan van, melyekben a két fekete golyó egymás mellé kerül. Ha a két fekete golyót egynek vesszük, akkor az ilyen elhelyezések száma $\frac{5!}{4!}=5$. Így tehát $10$ olyan csoportunk van, melyekben a fekete golyók nincsenek egymás mellett és $5$ olyan csoportunk, melyekben a fekete golyók egymás mellett vannak. Helyezzük el most az utóbbi csoportokban a fehér golyókat. E csoportokban az elemek száma $6$, tehát az első fehér golyó $\left(a_1\right)$ összesen $7$ helyre kerülhetne; minthogy azonban a fehér golyót nem tehetjük fekete golyó mellé, azért csak $4$ elhelyezés jöhet számításba. A második fehér golyó $\left(a_2\right)$ mindegyik csoportban $5$ helyre, a harmadik $\left(a_3\right)$ pedig $6$ helyre kerül. E csoportok mindegyike azonban $6$-szor fordul elő, mert a három fehér golyót egymás között $3!=6$-féleképp permutáltuk. E csoportokat egyenlőknek véve, ama elhelyezések száma, melyekben a két fekete golyó egymás mellett van, $\frac{5\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{6}=100$. Vizsgáljuk most meg, hogy a fehér golyók hány helyet foglalhatnak el ama csoportokban, melyekben a fekete golyók nincsenek egymás mellett. Az első fehér golyó $3$ helyre, a második $4$ helyre, a harmadik pedig $5$ helyre kerülhet. A külömhöző csoportok száma $\frac{10\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{6}=100$.
Így tehát a feladat feltételeinek eleget tevő összes elhelyezések száma $100+100=200$.