Kezdőlap


Feladat:	1201. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató I. , Bánó L. , Ehrenfeld N. , Erdélyi I. , Erdős V. , Ertler Á. , Fekete M. , Fodor H. , Freund E. , Fuchs I. , Füstös P. , Földes R. , Guman J. , Hajdu Pál , Hermann M. , Jánosy Gy. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kovács Gy. , Krémusz R. , Léber Gy. , Lusztig M. , Murarik A. , Neubauer C. , Perényi M. , Pichler S. , Rosenthal M. , Schlesinger K. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Schwarz S. , Seligmann A. , Szekeres V. , Szilas O. , Tóth B. , Trbojevics M.
Füzet:	1904/február, 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Rombuszok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/november: 1201. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $α$ -val a rhombus $A B C$ szögét, $ω$ -val a $B$ -ben és $ω_{1}$ -gyel az $A$ -ban rajzolható érintők által bezárt szögeket. Az $A B D$ és $A B C$ egyenlő szárú háromszögek csúcsain átmenő körök $K_{3}$ és $K_{4}$ , középpontjai az $A C$ , illetőleg $B D$ átlókon vannak, az $ω$ és $ω_{1}$ szögek pedig az átlók által feleztetnek. Minthogy

\begin{matrix} K_{4} A B ∢ = K_{4} B A ∢ = \frac{α}{2}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} K_{4} A K_{3} ∢ = 90^{\circ} - \frac{α}{2} - \frac{α}{2} = 90^{\circ} - α . \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{ω_{1}}{2} + K_{4} A K_{3} = \frac{ω_{1}}{2} + 90^{\circ} - α = 90^{\circ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} ω_{1} = 2 α . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} K_{3} B A ∢ = 90^{\circ} - \frac{α}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} K_{4} B K_{3} = 90^{\circ} - \frac{α}{2} - \frac{α}{2} = 90^{\circ} - α . \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{ω}{2} + K_{4} B K_{3} ∢ = \frac{ω}{2} + 90^{\circ} - α = 90^{\circ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} ω = 2 α . \end{matrix}

Így tehát csakugyan

\begin{matrix} ω_{1} = ω = 2 α . \end{matrix}

(Hajdú Pál, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Arató I., Bánó L., Ehrenfeld N., Erdélyi I., Erdős V., Ertler Á., Fekete M., Fodor H., Földes R., Freund E., Fuchs I., Füstös P., Guman J., Hermann M., Jánosy Gy., Kirchknopf E., Kiss E., Kovács Gy., Krémusz R., Léber Gy., Lusztig M., Murarik A., Neubauer C., Perényi M., Pichler S., Rosenthal M., Schlesinger K., Schuster Gy., Schwarz Gy., Schwarz S., Seligman A., Szekeres V., Szilas O., Tóth B., Trbojevics M.