Kezdőlap


Feladat:	1200. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó L. , Blum J. , Ehrenfeld N. , Epstein K. , Erdélyi I. , Erdős V. , Esztó P. , Fekete M. , Fodor H. , Fuchs I. , Füstös P. , Földes R. , Hajdu Pál , Hermann M. , Jánosy Gy. , Kiss E. , Kovács Gy. , Pichler S. , Schlesinger K. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Szilas O. , Tandlich E. , Tóth B.
Füzet:	1904/június, 169 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Koordináta-geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/november: 1200. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Induljunk ki az ismert

\begin{matrix} sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β \end{matrix}

képletből. Jelen esetben

\begin{matrix} sin α = x, tehát cos α = \sqrt[]{1 - x^{2}}; \end{matrix}

\begin{matrix} sin β = y, tehát cos β = \sqrt[]{1 - y^{2}}; \end{matrix}

és így képletünk így is írható:

\begin{matrix} z = x \sqrt[]{1 - y^{2}} + y \sqrt[]{1 - x^{2}} . \end{matrix}

Kétszeri négyzetre emelés után a gyökjel eltűnik és nyerjük az

x, y

és

z

közötti, trigonometriai és gyökjelek nélküli kapcsolatot:

\begin{matrix} z^{4} - 2 z^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} y^{2}) + {(x^{2} - y^{2})}^{2} = 0. \end{matrix}

Minthogy ez az egyenlet

z

-re nézve negyedfokú, azért

z

-nek általában

4

értéke van.

4

-nél kevesebb értéket vesz fel, ha

(1)

az egyenlet bal oldala teljes négyzet,

(2)

az abszolut tag

= 0

(3)

z^{2}

együtthatója

= 0

(4)

az abszolut tag és

z^{2}

együtthatója

= 0

(1)

Az egyenlet többtagúja teljes négyzet, ha

\begin{matrix} 4 {(x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} y^{2})}^{2} = 4 {(x^{2} - y^{2})}^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} y^{2})}^{2} - {(x^{2} - y^{2})}^{2} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 4 x^{2} y^{2} (1 - x^{2}) (1 - y^{2}) = 0. \end{matrix}

Ez az egyenlőség akkor áll fenn, ha:

\begin{matrix} (a) x = 0, (b) x = \pm 1, (c) y = 0, (d) y = \pm 1. \end{matrix}

Ez esetben

z

-re két értéket kapunk.

(2)

Az abszolut tag

= 0

, ha

x = \pm y

, akkor egyenletünk ily alakra hozható

\begin{matrix} z^{4} - 4 z^{2} (x^{2} - x^{4}) = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} z_{1} = z_{2} = 0, z_{3} = 2 x \sqrt[]{1 - x^{2}}, z_{4} = - 2 x \sqrt[]{1 - x^{2}} . \end{matrix}

Ez esetben tehát

z

három értéket vesz fel.

(3)

és

(4)

z^{2}

együtthatója

= 0

, ha

\begin{matrix} x^{2} - 2 x^{2} y^{2} + y^{2} = 0 \end{matrix}

(1)

Ez az egyenlőség azonban csak akkor állhat fenn, ha

\begin{matrix} x^{2} = y^{2} . \end{matrix}

(1)

u. i. még a következő alakokra hozható

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{y^{2}} = 2 x^{2} - 1 és \frac{y^{2}}{x^{2}} = 2 y^{2} - 1. \end{matrix}

Ha már most

x^{2} > y^{2}

, akkor

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{y^{2}} = 2 x^{2} - 1 > 1 vagy x^{2} > 1. \end{matrix}

Ha pedig

y^{2} > x^{2}

, akkor

\begin{matrix} \frac{y^{2}}{x^{2}} = 2 y^{2} - 1 > 1 vagy y^{2} > 1. \end{matrix}

Ámde az

x^{2} > 1

és

y^{2} > 1

egyenlőtlenségek abszurdumot fejeznek ki, mert feltételünk értelmében

x

és

y

, s velük együtt

x^{2}

és

y^{2}

is valódi törtek. Kell tehát, hogy

x^{2} = y^{2}

legyen. Ezt tekintetbe véve

(1)

-ből erednek a következő gyökpárok:

\begin{matrix} (a) x = y = 0, (b) x = 1, y = 1, (c) x = 1, y = - 1. \end{matrix}

\begin{matrix} (d) x = - 1, y = 1, (e) x = - 1, y = - 1. \end{matrix}

Ebben az esetben azonban

{(x^{2} - y^{2})}^{2} = 0

, tehát az egyenlet a

\begin{matrix} z^{4} = 0 \end{matrix}

egyenletre redukálódik, a honnan

z

egyetlen értéke

z = 0

.
Látnivaló, hogy ez az eset magába foglalja az utolsó esetet is, amikor mind az abszolut tag, mind pedig

z^{2}

együtthatója

= 0

.
Tehát

z

értékváltozásait a következőkben foglalhatjuk össze:

z

-nek általában

4

értéke van, ha azonban

I . x = \pm y

és sem

x

, sem

y

nem egyenlő

0

, vagy

\pm 1

, akkor

z

-nek

3

értéke van;

I I .

\begin{matrix} (a) x = 0, (b) y = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (c) x = \pm 1, (d) y = \pm 1, \end{matrix}

akkor

z