Kezdőlap


Feladat:	1199. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szekeres Vince
Füzet:	1904/január, 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók összege, Prímszámok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/november: 1199. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott kifejezésnek $n$ -nél kisebb osztói, ha $2^{p} - 1$ törzsszám, a következők:

\begin{matrix} 2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, ... 2^{p - 2}, 2^{p - 1}, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} 2^{0} (2^{p - 1}), 2^{1} (2^{p} - 1), 2^{2} (2^{p} - 1) ... 2^{p - 3} (2^{p - 1}), {\tilde{2}}^{p - 2} (2^{p} - 1) . \end{matrix}

\begin{matrix} 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + ... 2^{p - 2} + 2^{p - 1} = 2^{p} - 1 \end{matrix}

és

\begin{matrix} 2^{0} (2^{p} - 1) + 2^{1} (2^{p} - 1) + ... + 2^{p - 3} (2^{p} - 1) + 2^{p - 2} (2^{p} - 1) = (2^{p} - 1) (2^{p - 1} - 1) . \end{matrix}

S így a megadott kifejezés

n

-nél kisebb osztóinak összege:

\begin{matrix} 2^{p} - 1 + (2^{p} - 1) (2^{p - 1} - 1) = (2^{p} - 1) (1 + 2^{p - 1} - 1) = 2^{p - 1} (2^{p} - 1) = n . \end{matrix}

(Szekeres Vince, Pécs.)

Megoldások száma: 51.