Kezdőlap


Feladat:	1196. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Erdélyi Imre , Fekete M. , Fodor H. , Freund E. , Fuchs I. , Heimlich P. , Kiss E. , Lusztig M. , Pichler S. , Sárközy P. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Szilas O. , Szőke D. , Tandlich E. , Tóth B.
Füzet:	1904/január, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/október: 1196. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy a háromszögben a $P_{3}$ és $P_{1}$ pontok mindig az egyik csúcs és a $P_{2}$ pont között vannak, azért a megadott feltétel így is írható

\begin{matrix} P_{1} P_{2} = 4 P_{2} P_{3} . \end{matrix}

b > c

, akkor az

A C P_{1}

és

A B P_{1}

háromszögekből:

\begin{matrix} b^{2} - {(\frac{a}{2} + 4 P_{2} P_{3})}^{2} = c^{2} - {(\frac{a}{2} - 4 P_{2} P_{3})}^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} b^{2} - c^{2} = 8 a P_{2} P_{3}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} P_{2} P_{3} = \frac{b^{2} - c^{2}}{8 a} . \end{matrix}

(1)

Minthogy továbbá a szögfelező a szemben fekvő oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, azért

\begin{matrix} b : c = (\frac{a}{2} + P_{2} P_{3}) : (\frac{a}{2} - P_{2} P_{3}), \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} b + c : b - c = a : 2 P_{2} P_{3}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{b + c}{b - c} = \frac{a}{2 P_{2} P_{3}} \end{matrix}

(2)

(2)

-be

(1)

-et téve, ered:

\begin{matrix} \frac{b + c}{b - c} = \frac{4 a^{2}}{b^{2} - c^{2}} . \end{matrix}

Minthogy

b > c

, egyszerűsíthetünk

(b - c)

-vel,s így:

\begin{matrix} {(b + c)}^{2} = 4 a^{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} b + c = 2 a, \end{matrix}

mely egyenlet mutatja, hogy a

b, a

és

c

oldalak számtani haladványt alkotnak.

(Erdélyi Imre, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Fekete M., Podor H., Freund E., Fuchs I., Heimlich P., Kiss E., Lusztig M., Pichler S., Sárközy P., Schuster Gy., Schwarz Gy., Szilas O., Szőke D., Tandlich E., Tóth B.