Kezdőlap


Feladat:	1195. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó L. , Bayer N. , Ehrenfeld N. , Erdélyi I. , Erdős V. , Esztó P. , Fekete M. , Fodor H. , Freund E. , Fuchs I. , Füstös P. , Földes R. , Guman J. , Heimlich P. , Horti V. , Jánosy Gy. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kovács Gy. , Kürth R. , Lusztig M. , Perényi M. , Rosenthal M. , Sárközy Pál , Schwarz Gy. , Szilas O. , Tandlich E. , Tóth B. , Wáhl V.
Füzet:	1904/január, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Húrsokszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/október: 1195. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Legyen az $A_{1} A_{2} A_{3} Δ$ köré írható kör sugara $A_{1} O = A_{2} O = A_{3} O = r$ . Határozzuk meg a hatszög többi csúcsának távolságát $O$ -tól. Ha $O A_{2} A_{3} ∢ = O A_{3} A_{2} ∢ = β$ , akkor $A_{1} A_{2} O ∢ = O A_{3} A_{4} ∢ = 120^{\circ} - β$ . Minthogy továbbá $A_{1} O = A_{3} O$ és $A_{1} A_{2} = A_{3} A_{4}$ , azért $O A_{1} A_{2} Δ ≅ O A_{3} A_{4} Δ = β$ , s így $A_{4} O = A_{1} O = r$ . Épp így bizonyíthatjuk be, hogy $A_{5} O = A_{6} O = r$ . A hatszög csúcsai tehát egyenlő távolságban vannak $O$ -tól s így a hatszög köré kör írható.
$2^{\circ}$ . A tétel így általánosítható: Ha egy $2 n$ oldalú sokszög szögei egyenlők és $A_{1} A_{2} = A_{3} A_{4} = ... = A_{2 n - 1} A_{2 n}$ , továbbá $A_{2} A_{3} = A_{4} A_{5} = ... = A_{2 n} A_{1}$ , akkor a hatszög köré kör írható.
$3^{\circ}$ . Minthogy $A_{1} O A_{3} ∢ = \frac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$ , azért az $A_{1} A_{2} A_{3}$ és $A_{1} A_{3} A_{0}$ háromszögekből:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - 2 a b cos 120^{\circ} = 2 r^{2} - 2 r^{2} cos 120^{\circ}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - 2 a b cos 60^{\circ} = r^{2} (2 + 2 cos 60^{\circ}), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} r = \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2} + a b}{2}} . \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)

A feladatot még megoldották: Bánó L., Bayer N., Ehrenfeld N., Erdélyi I., Erdős V., Esztó P., Fekete M., Fodor H., Földes R., Freund E., Fuchs I., Füstös P., Guman J., Heimlich P., Horti V., Jánosy Gy., Kirchknopf E., Kiss E., Kovács Gy., Kürth R., Lusztig M., Perényi M., Rosenthal M., Schwarz Gy., Szilas O., Tandlich E., Tóth B., Wáhl V.