Kezdőlap


Feladat:	1194. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó L. , Bayer N. , Ehrenfeld N. , Epstein K. , Erdélyi I. , Ertler A. , Esztó Péter , Fekete M. , Fodor H. , Freund E. , Fuchs I. , Földes R. , Gádor Z. , Gúman J. , Heimlich P. , Hermann M. , Horti V. , Jánosy Gy. , Keszthelyi G. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kürth R. , Lusztig M. , Murarik A. , Perényi M. , Sárközy P. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Szekeres V. , Szilas O. , Szőke D. , Tóth B. , V. ker főgimn. math. köre , Vilcsek A. , Wáhl V.
Füzet:	1903/december, 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/október: 1194. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljuk meg a húrnégyszög egyik átlóját s számítsuk azt ki a keletkező két háromszögből; akkor

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - 2 a b cos α = c^{2} + d^{2} + 2 c d cos α, \end{matrix}

mely egyenletből

\begin{matrix} cos α = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}}{2 a b + 2 c d}, \end{matrix}

továbbá:

\begin{matrix} 1 - cos α = \frac{2 a b + 2 c d - a^{2} - b^{2} + c^{2} + d^{2}}{2 a b + 2 c d} = \frac{{(c + d)}^{2} - {(a - b)}^{2}}{2 a b + 2 c d} \end{matrix}

és

\begin{matrix} 1 + cos α = \frac{{(a + b)}^{2} - {(c - d)}^{2}}{2 a b + 2 c d}; \end{matrix}

ennélfogva:

\begin{matrix} \frac{1 - cos α}{1 + cos α} = {tg}^{2} \frac{α}{2} = \frac{(c + d - a + b) (c + d + a - b)}{(a + b - c + d -) (a + b + c - d)} = \frac{(s - a) (s - b)}{(s - c) (s - d)} . \end{matrix}

(Esztó Péter, Nagykikinda.)

A feladatot még megoldották: Bánó L., Bayer N., Ehrenfeld N., Epstein K., Erdélyi I., Ertler A., Fekete M., Fodor H., Földes R., Freund E., Fuchs I., Gádor Z., Gúman J., Heimlich P., Hermann M., Horti V., Jánosy Gy., Keszthelyi G., Kirchknopf E., Kiss E., Kürth R., Lusztig M., Murarik A., Perényi M., Sárközy P., Schuster Gy., Schwarz Gy., Szekeres V., Szilas O., Szőke D., Tóth B., Vilcsek A., Wáhl V., Math. és term. tud. kör, Bpest, V. ker. fg.