Kezdőlap


Feladat:	1189. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ehrenfeld N. , Erdélyi I. , Fekete M. , Krémusz R. , Pichler S. , Sárközy Pál , Tóth B.
Füzet:	1903/december, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Függvényvizsgálat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/október: 1189. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$(1)$ Még így is írható:

\begin{matrix} (a - y) x^{2} - (b - d y) x + c + a y = 0. \end{matrix}

(2)

Ha a tört maximális értéke

1

, akkor

(2)

-ből lesz:

\begin{matrix} (a - 1) x^{2} - (b - d) x + c + a = 0. \end{matrix}

(3)

De a tört csak akkor veszi fel maximális értékét, ha

x = 2

, miért is a

(3)

alatti egyenlet mindkét gyöke egyenlő kettővel s így

\begin{matrix} \frac{b - d}{a - 1} = 2 + 2 = 4 és \frac{c + a}{a - 1} = 2 + 2 = 4, \end{matrix}

mely egyenletek még így is írhatók:

\begin{matrix} 4 a - b + d - 4 = 0 \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} 3 a - c - 4 = 0. \end{matrix}

(5)

A tört minimális értéke

2,5

, tehát

2

-ből lesz:

\begin{matrix} (2 a - 5) x^{2} - (2 b - 5 d) x + 2 c + 5 a = 0, \end{matrix}

s minthogy a minimális érték

x = 5

-nél következik be, azért

\begin{matrix} \frac{2 b - 5 d}{2 a - 5} = 10 és \frac{2 c + 5 a}{2 a - 5} = 25, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 20 a - 2 b + 5 d - 50 = 0 \end{matrix}

(6)

\begin{matrix} 45 a - 2 c - 125 = 0. \end{matrix}

(7)

a, b, c

és

d

értékeit

(4), (5), (6)

és

(7)

adják:

\begin{matrix} a = 3, b = 10, c = 5, d = 2. \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)

A feladatot még megoldották: Ehrenfeld N., Erdélyi I., Fekete M., Krémusz R., Pichler S., Tóth B.