Kezdőlap


Feladat:	1180. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó László , Bauer E. , Bayer N. , Ehrenfeld N. , Ehrenstein P. , Epstein K. , Erdélyi I. , Erdős V. , Fodor H. , Freund E. , Földes R. , Gádor Z. , Heimlich P. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kovács Gy. , Lusztig M. , Murarik A. , Neubauer K. , Paunz A. , Pichler S. , Sárközy P. , Schuster Gy. , Seligmann A. , Spitzer L. , Szilas O. , Tandlich E. , Tóth B.
Füzet:	1903/november, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/szeptember: 1180. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$(a)$ Minthogy $I C B ∢ = I K B ∢ = 90^{\circ}$ és $A D I ∢ = I K A ∢ = 90^{\circ}$ , azért $K I C B$ és $A D I K$ húrnégyszögek, melyek köré kör írható. Ennélfogva:

\begin{matrix} B K \cdot B A = B I \cdot B D \end{matrix}

és

\begin{matrix} A B \cdot A K = A I \cdot A C \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A C \cdot A I + B D \cdot B I = A B \cdot (B K + A K) = {\bar{A B}}^{2} = const. \end{matrix}

(b)

Minthogy az egyenlő ívekhez tartozó kerületi szögek egyenlők, azért

\begin{matrix} I K C ∢ = I B C ∢ és I K D ∢ = I A D ∢; \end{matrix}

\begin{matrix} I A D ∢ = I B C ∢ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} I K C ∢ = I K D ∢ = \frac{1}{2} D K C ∢ . \end{matrix}

(Bánó László, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bauer E., Bayer N., Ehrenfeld N., Ehrenstein P., Epstein K., Erdélyi I., Erdős V., Fodor H., Földes R., Freund E., Gádor Z., Heimlich P., Kirchknopf E., Kiss E., Kovács Gy., Lusztig M., Murarik A., Neubauer K., Paunz A., Pichler S., Sárközy P., Schuster Gy., Seligmann A., Spitzer L., Szilas O., Tandlich E., Tóth B.