Kezdőlap


Feladat:	1175. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó L. , Bayer N. , Ehrenfeld N. , Epstein K. , Erdélyi I. , Esztó P. , Fekete M. , Fodor H. , Freund E. , Földes R. , Heimlich P. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kovács Gyula , Kürth R. , Murarik A. , Paunz A. , Pichler S. , Sárközy P. , Schuster Gy. , Szilas O. , Tóth B. , Wáhl V.
Füzet:	1903/november, 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hatványösszeg, Számelmélet alaptétele, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/szeptember: 1175. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy Mathematikai gyakorlókönyv 64. l.)

\begin{matrix} 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} 1^{5} + 2^{5} + 3^{5} + ... + n^{5} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} \cdot \frac{2 n^{2} + 2 n - 1}{3} \end{matrix}

és

\begin{matrix} {(1 + 2 + 3 + ... + n)}^{3} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{3}, \end{matrix}

ennélfogva a megadott kifejezés így írható:

\begin{matrix} \frac{{[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} - {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} \cdot \frac{2 n^{2} + 2 n - 1}{3}}{{[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{3} - {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} \cdot \frac{2 n^{2} + 2 n - 1}{3}} \end{matrix}

Minthogy

n > 0

, a tört egyszerűsíthető

{[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2}

-nel s így ered

\begin{matrix} \frac{2 (3 - 2 n^{2} - 2 n + 1)}{3 n (n + 1) - 2 (2 n^{2} + 2 n - 1)} = \frac{4 (2 - n - n^{2})}{2 - n - n^{2}} = 4; \end{matrix}

az utolsó törtet egyszerűsíthettük

(2 - n - n^{2})

-tel, mert

n > 1

(Kovács Gyula, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bánó L., Bayer N., Ehrenfeld N., Epstein K., Erdélyi I., Esztó P., Fekete M., Fodor H., Földes R., Freund E., Heimlich P., Kirchknopf E., Kiss E., Kürth R., Murarik A., Paunz A., Pichler S., Sárközy P., Schuster Gy., Szilas O., Tóth B., Wáhl V.