Kezdőlap


Feladat:	1170. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csada J. , Fodor H. , Paunz Arthur , Székely L. , Szilas O. , Tandlich E.
Füzet:	1904/október, 47 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Magasságvonal, Beírt kör, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/április: 1170. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen pl. $β < γ$ és jelöljük az $A_{1} B D_{1}, A A_{1} D_{1}, A A_{1} D_{2}$ és $A_{1} C D_{2}$ háromszögekbe írható körök középpontjait rendre $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ és $O_{3}$ -gyel. Messék továbbá az $O_{1}, O_{2}$ és $O_{3}, O_{4}$ a $B C$ oldalt a $G$ és $H$ pontokban, egymást pedig az $F$ -ben.

Végül messe a

D_{1} O_{1}

B C

-t

E

-ben és

D_{1} O_{2}

, az

A A_{1}

-et

K

-ban, akkor:

\begin{matrix} E D_{1} K \end{matrix}

és

\begin{matrix} E A_{1} K = 90^{\circ}, \end{matrix}

tehát az

E A_{1} K D_{1}

húrnégyszög és ezért csúcsain keresztül kör rajzolható. De ekkor:

\begin{matrix} A_{1} E K ∢ = A_{1} D_{1} K ∢ = 45^{\circ} \end{matrix}

mint ugyanazon íven nyugvó kerületi szögek.
Ámde

\begin{matrix} A A_{1} D_{1} Δ \sim A_{1} B D_{1} Δ, \end{matrix}

mert szögeik egyenlők, tehát

\begin{matrix} D_{1} O_{1} : O_{1} E = D_{1} O_{2} : O_{2} K, \end{matrix}

miből továbbá:

\begin{matrix} O_{1} O_{2} ∥ E K, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} F G H ∢ = K E A_{1} ∢ = 45^{\circ} . \end{matrix}

Éppígy:

\begin{matrix} G H F ∢ = 45^{\circ}, \end{matrix}

tehát

F G H Δ

csakugyan egyenlőszárú derékszögű háromszög.

(Paunz Arthur, Pécs.)