Kezdőlap


Feladat:	1169. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csada I. , Fodor Henrik , Haar A. , Kiss J.
Füzet:	1905/október, 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Magasságpont, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/április: 1169. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Messék az $A B C$ háromszög $A$ csúcsából kiinduló magasság, szögfelező és a magasságnak a szögfelezőre vonatkozó tükörképe a háromszög köré írható kör kerületét az $A'_{1}, A'_{2}$ és $A'_{3}$ pontokban, és legyen $β < γ$ , akkor:

\begin{matrix} C A A'_{1} ∢ = 90^{\circ} - γ \end{matrix}

és

\begin{matrix} A'_{2} A A'_{3} ∢ = A'_{1} A A'_{2} ∢ = \frac{α}{2} - C A A'_{1} ∢ = \frac{α}{2} + γ - 90^{\circ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A'_{3} C B ∢ = A'_{3} A B ∢ = \frac{α}{2} - A'_{2} A A'_{3} = 90^{\circ} - γ \end{matrix}

és így

\begin{matrix} A C A'_{3} ∢ = A C B ∢ + B C A'_{3} ∢ = 90^{\circ}, \end{matrix}

ami azt mondja, hogy

A A'_{3}

A B C

kör átmérője, vagyis csakugyan átmegy a köré írható kör középpontján. Ugyanígy bizonyítható a tétel a többi egyenesekre nézve is.

(Fodor Henrik, Beregszász.)