Kezdőlap


Feladat:	1167. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó L. , Bauer E. , Blum J. , Csada I. , Ehrenfeld N. , Epstein K. , Fekete M. , Fodor H. , Füstös P. , Földes R. , Haar A. , Heimlich P. , Horti V. , Kirchknopf E. , Kiss József , Kovács Gy. , Lusztig M. , Martini I. , Merse P. , Paunz A. , Rosenthal M. , Ruvald S. , Sárközy P. , Schuster Gy. , Spitzer L. , Székely J. , Szilas O. , Tandlich E. , Tóth B. , Tóth J. , Wáhl V.
Füzet:	1903/november, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Számtani sorozat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/április: 1167. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szükségünk lesz az $A A_{n}$ hosszára, azért azt számítjuk ki először:

\begin{matrix} A A_{n} = a + 2 a + ... + n a = \frac{n}{2} [a + n a] = \frac{1}{2} n \cdot (n + 1) \cdot a . \end{matrix}

1^{\circ}

. Az

A_{n - 1} A_{n} B_{n} B_{n - 1}

trapéz területét

T_{n}

-nel jelölve:

\begin{matrix} 2 T_{n} = (A_{n} B_{n} + A_{n - 1} B_{n - 1}) \cdot A_{n - 1} A_{n} = \end{matrix}

\begin{matrix} = (A A_{n} \cdot tg φ + A_{n} A_{n - 1} tg φ) \cdot A_{n - 1} A_{n} = \end{matrix}

\begin{matrix} = [\frac{1}{2} \cdot n (n + 1) a \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} T_{n} = \frac{1}{2} a^{2} n^{3} tg φ . \end{matrix}

2^{\circ}

. Az

A A_{n} B_{n}

háromszög területét

t_{n}

-nel jelölve:

\begin{matrix} t_{n} = \frac{1}{2} \cdot A A_{n} \cdot A_{n} B_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} n \cdot (n + 1) a \cdot \frac{1}{2} a \cdot n \cdot (n + 1) tg φ, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} t_{n} = \frac{1}{8} a^{2} n^{2} {(n + 1)}^{2} tg φ . \end{matrix}

(Kiss József, Pápa.)

A feladatot még megoldották: Bánó L., Blum J., Bauer E., Csada J., Ehrenfeld N., Epstein K., Fekete M., Fodor H., Földes R., Füstös P., Haar A., Heimlich P., Horti V., Kirchknopf E., Kovács Gy., Lusztig M., Martini I., Merse P., Paunz A., Rosenthal M., Ruvald S., Sárközy P., Schuster Gy., Spitzer L., Székely J., Szilas O., Tandlich E., Tóth B., Tóth J., Wáhl V.