Kezdőlap


Feladat:	1162. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bánó L. , Csada I. , Ehrenfeld N. , Epstein K. , Fekete M. , Fodor H. , Haar A. , Heimlich P. , Kirchknopf E. , Kiss J. , Merse P. , Paunz A. , Pichler S. , Ruvald S. , Schuster Gy. , Schwarz O. , Székely J. , Tandlich E. , Tóth B. , Tóth J. , Wáhl Viktor
Füzet:	1903/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Konvergens sorok, Számsorok, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/április: 1162. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott sor a következő mértani haladványok összege:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 + & x + & x^{2} + & x^{3} + & ... & + x^{n} \\ x + & x^{2} + & x^{3} + & ... & + x^{n} \\ x^{2} + & x^{3} + & ... & + x^{n} \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \\ x^{n - 1} + & x^{n} \\ x^{n} \end{matrix} \end{matrix}

Így tehát

\begin{matrix} S = \frac{x^{n + 1} - 1}{x - 1} + \frac{x^{n + 1} - x}{x - 1} + \frac{x^{n + 1} - x^{2}}{x - 1} + ... + \frac{x^{n + 1} - x^{n}}{x - 1} . \end{matrix}

(1)

Vagy

\begin{matrix} S = \frac{(n + 1) x^{n + 1} - (1 + x + x^{2} + ... + x^{n})}{x - 1} = \frac{(n + 1) x^{n + 2} - (n + 2) x^{n + 1} + 1}{{(x - 1)}^{2}} . \end{matrix}

x < 1

és

n = \infty

, akkor

(1)

-ben az egyes tagok:

\begin{matrix} \frac{1}{1 - x}, \frac{x}{1 - x}, \frac{x^{2}}{1 - x}, ... \frac{x^{n}}{1 - x} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} S = \frac{1 + x + x^{2} + ...}{1 - x} = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} . \end{matrix}

(Wáhl Viktor, Eger.)

A feladatot még megoldották: Bánó L., Csada I., Ehrenfeld N., Epstein K., Fekete M., Fodor H., Haar A., Heimlich P., Kirchknopf E., Kiss J., Merse P., Paunz A., Pichler S., Ruvald S., Schuster Gy., Schwarz O., Székely J., Tandlich E., Tóth B., Tóth J.