Kezdőlap


Feladat:	1154. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bánó L. , Blum J. , Csada I. , Dömény I. , Erdős V. , Fekete M. , Fodor H. , Füstös P. , Földes R. , Haar A. , Hajdu P. , Horti V. , Jánosy Gyula , Kiss J. , Koritsánszky I. , Krampera Gy. , Lusztig M. , Merse P. , Morvai O. , Paunz A. , Pető L. , Pözel I. , Rosenthal M. , Ruvald S. , Schuster Gy. , Stagl A. , Szécsi I. , Szilas O. , Tandlich E.
Füzet:	1905/január, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/március: 1154. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a trapéz alapja $A B$ , a vele párhuzamos oldal $C D$ és $C D = a$ . Ekkor $A B = 2 m + a$ és $A C = m \sqrt[]{2}$ . $1^{\circ}$ A trapéz $C D$ körül forog. A keletkező test fölületét egy henger palástja és két kúp palástja alkotja; tehát

\begin{matrix} F_{1} = 2 m π (2 m + a) + 2 m^{2} π \sqrt[]{2} = 2 m π [a + (2 + \sqrt[]{2}) m] . \end{matrix}

A köbtartalmat úgy kapjuk meg, ha egy henger köbtartalmából két kúp köbtartalmát levonjuk; azaz

\begin{matrix} K_{1} = m^{2} π (2 m + a) - 2 \cdot \frac{π}{3} m^{3} = m^{2} π (a + \frac{4 m}{3}) . \end{matrix}

2^{\circ}

A trapéz

A B

körül forog. A forgási test fölületét egy henger palástja és két kúp palástja alkotja; tehát

\begin{matrix} F_{2} = 2 m π a + 2 m^{2} π \sqrt[]{2} = 2 m π (a + m \sqrt[]{2}) . \end{matrix}

A köbtartalmat úgy kapjuk meg, ha egy henger köbtartalmához két kúp köbtartalmát adjuk; azaz

\begin{matrix} K_{2} = m^{2} π a + 2 \cdot \frac{π}{3} m^{3} = m^{2} π (a + \frac{2 m}{3}) . \end{matrix}

3^{\circ}

A forgás

B D

körül történik. Legyen az

A C

és

B D

oldalak metszési pontja

E

, továbbá

A E = R

és

C E = r

. A forgási test fölülete össze van téve két kúpnak a palástjából és egy körgyűrű területéből. Tehát

\begin{matrix} F_{3} = R π (a + 2 m) + r π a + R^{2} π - r^{2} π = \end{matrix}

\begin{matrix} = π [R (a + 2 m) + r a + R^{2} π - r^{2}] \end{matrix}

hol

\begin{matrix} R = \frac{1}{2} (a + 2 m) \sqrt[]{2} és r = \frac{a}{2} \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} F_{3} = 2 m π [(m + a) (1 + \sqrt[]{2})] + a^{2} π \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A köbtartalom pedig két kúp köbtartalmának különbségével egyenlő; azaz

\begin{matrix} K_{3} = \frac{π}{3} (R^{3} - r^{3}) = \frac{m π \sqrt[]{2}}{6} (4 m^{2} + 6 m a + 3 a^{2}) . \end{matrix}

(Jánosy Gyula, Budapest.)