Kezdőlap


Feladat:	1151. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blum J. , Csada I. , Erdős V. , Fekete M. , Fodor H. , Földes R. , Haar A. , Heimlich P. , Jánosy Gyula , Kiss J. , Krampera Gy. , Morvai O. , Patz S. , Pichler S. , Ruvald S. , Schuster Gy. , Schwarz O.
Füzet:	1903/június, 239 - 240. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszögek geometriája, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/március: 1151. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az eredeti hatszög egyik oldalát $a$ -val s $a$ -nak metszeteit $x$ -szel és $y$ -nal. Ekkor

\begin{matrix} x + x = a \end{matrix}

és

\begin{matrix} x : y = p : q, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{a p}{p + q}, y = \frac{a q}{p + q} . \end{matrix}

Ha az első (

k

-adik) osztásnál keletkezett szabályos hatszög egyik oldala

a_{1} (a_{k})

, akkor

\begin{matrix} a_{1}^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y cos 120^{\circ} = x^{2} + y^{2} + x y = a^{2} \frac{p^{2} + q^{2} + p q}{{(p + q)}^{2}}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a_{k}^{2} = a_{k - 1}^{2} \frac{p^{2} + q^{2} + p q}{{(p + q)}^{2}} . \end{matrix}

Tehát a hatszögek területeinek összege

\begin{matrix} T = \frac{3 a^{2}}{2} \sqrt[]{3} + \frac{3 a_{1}^{2}}{2} \sqrt[]{3} + ... + \frac{3 a_{k}^{2}}{2} \sqrt[]{3} + ... = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{3}{2} \sqrt[]{3} (a^{2} + a_{1}^{2} + ... + a_{k}^{2} + ...) . \end{matrix}

A zárójelben levő sor oly végtelen geometriai haladvány, melynek hányadosa

\begin{matrix} q = \frac{p^{2} + q^{2} + p q}{{(p + q)}^{2}} = \frac{{(p + q)}^{2} - p q}{{(p + q)}^{2}} = 1 - \frac{p q}{{(p + q)}^{2}} < 1, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} T = \frac{3}{2} \sqrt[]{3} \frac{a^{2}}{1 - {1 - \frac{p q}{{(p + q)}^{2}}}} = \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} a^{2} \frac{{(p + q)}^{2}}{p q} . \end{matrix}

T

az eredeti hatszög területének négyszerese, akkor

\begin{matrix} \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} a^{2} \frac{{(p + q)}^{2}}{p q} = 4 \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} a^{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(p + q)}^{2} = 4 p q, \end{matrix}

\begin{matrix} {(p - q)}^{2} = 0. \end{matrix}

miből

\begin{matrix} p = q . \end{matrix}

(Jánosy Gyula, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Blum J., Csada I., Erdős V., Fekete M., Fodor H., Földes R., Haar A., Heimlich P., Kiss J., Krampera Gy., Morvai O., Patz S., Pichler S., Ruvald S., Schuster Gy., Schwarz O.