Kezdőlap


Feladat:	1146. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó L. , Csada I. , Dömény I. , Ehrenfeld N. , Fekete M. , Fodor H. , Füstös P. , Földes R. , Haar A. , Hajdu P. , Jánosy Gy. , Kiss József , Krampera Gy. , Merse P. , Pichler S. , Rosenberg J. , Ruvald S. , Schuster Gy. , Szilas O. , Wáhl V.
Füzet:	1905/szeptember, 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/március: 1146. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A nevezőt eltávolítva és $x$ szerint rendezve, ered:

\begin{matrix} (y - 1) x^{2} + 2 (y + 1) x + k^{2} (y - 1) = 0; \end{matrix}

hogy

x

valós lehessen, kell hogy eme egyenlet discriminánsa pozitív legyen, vagyis szükséges hogy:

\begin{matrix} D = (1 - k^{2}) y^{2} + 2 (1 + k^{2}) y + 1 - k^{2} ≧ 0. \end{matrix}

Minthogy az

y^{2}

együtthatója negatív, azért a

D

függvénynek maximuma van s így a függvény akkor pozitív, ha

y

nagyobb, mint a egyenlet kisebbik gyöke és ha

y

kisebb, mint a nagyobbik gyök. A

D = 0

egyenletet megoldva, ered:

\begin{matrix} y_{1} = \frac{k - 1}{k + 1}, y_{2} = \frac{k + 1}{k - 1} . \end{matrix}

A megadott függvény tehát az adott feltételek között eme határok között változhatik.

(Kiss József, Pápa.)